Feladat: N.50 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Bárász Tamás ,  Braun Gábor ,  Burcsi Péter ,  Dombi Gergely ,  Gyarmati Katalin ,  Izsák Ferenc ,  Makai Márton ,  Pap Gyula ,  Póczos Barnabás ,  Sánta Zsuzsa ,  Séllei Béla ,  Szádeczky-Kardoss Szabolcs ,  Tóth Gábor Zsolt ,  Újváry-Menyhárt Mónika ,  Valkó Benedek ,  Vörös Zoltán ,  Zubcsek Péter Pál 
Füzet: 1995/április, 227 - 229. oldal  PDF file
Témakör(ök): Függvényvizsgálat, Trigonometriai azonosságok, Sorozat határértéke, Konstruktív megoldási módszer, Számsorozatok, Nehéz feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1994/december: N.50

Milyen közel lehet egy 2±2±...±2 alakú szám az 1-hez?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

 
I. megoldás. Definiáljuk a következő sorozatot:
a1=2;an+1=2-an.
A sorozat elemei a megadott alakúak. A definíció értelmes, mert ha 0<an2
(ez a feltétel n=1-re triviális), akkor an+1 értelmes és 0<an+1<2.
Azt állítjuk, hogy az (an) sorozat tetszőleges pontossággal megközelíti az 1-et (vagyis an1).
Legyen bn=an-1. A rekurzió szerint
bn+1=an+1-1=2-an-1=2-an2-122-an+1=-bn2-an+1,
amiből felhasználva, hogy a definíció alapján an2,
|bn+1|=|bn|2-an+1|bn|2-2+1<35|bn|.

Mivel |b1|=2-1<35, ebből következik, hogy
|an-1|=|bn|<(35)n.
Ez pedig 0-hoz tart.
 Vörös Zoltán (Tiszavasvári, Váci M. Gimn., III. o.t.) dolgozata alapján

 
II. megoldás. Megoldásunk a félszögek trigonometrikus függvényeire vonatkozó azonosságokra épül.
Nevezzünk egy számot az egyszerűség kedvéért felírhatónak, ha felírható
2±2±....±2 alakban. Bebizonyítjuk, hogy a felírható számok a (0;2) intervallumban sűrűn helyezkednek el, azaz tetszőleges 0a<b2 esetén létezik a<u<b felírható szám.
Legyen f(x)=2|cosx|. Ez a függvény π szerint periodikus, értékkészlete a [0;2] intervallum. Másrészt
f(x2)=2|cosx2|=21+cosx2=2+2cosx=2±f(x),
ahol f(x) előjele az x értékétől függ.
Ebből az azonosságból következik, hogy ha valamilyen x-re f(x) felírható, akkor f(x2) is felírható, csak felírásában eggyel több gyökjel van. Ezt k-szor megismételve kapjuk, hogy f(x2k) is felírható.
A legegyszerűbb felírható szám a 2. Ezt az f függvény minden π2 hosszúságú intervallumban felveszi, ugyanis tetszőleges m egész számra f((m+12)π2)=2.
Legyen most a=f(α) és b=f(β), ahol 0β<απ2. Válasszuk k-t olyan nagynak, hogy 2k(α-β)>π2 legyen. Ekkor a (2kβ,2kα) intervallumban létezik egy olyan
2kβ<x0<2kα szám, amelyre f(x0)=2. Mivel f(x0) felírható, felírható vele együtt u=f(x02k) is. Mivel pedig β<x02k<α, az is igaz, hogy a<u<b. Ezzel az állításunkat igazoltuk.
Speciálisan, minden 0<ε<1-hez található olyan felírható u, amelyre 1-ε<u<1+ε, azaz |u-1|<ε. A 2±2±....±2 alakú számok tehát tetszőlegesen közel lehetnek az 1-hez.
 
Megjegyzés. A megoldás kis módosításával be lehet bizonyítani, hogy egy szám pontosan akkor felírható, ha |cos2m+12k+1π| alakú, ahol m,k pozitív egészek.
 Póczos Balázs (Miskolc, Földes F. Gimn., III. o.t.) dolgozata alapján