|
Feladat: |
N.50 |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Bárász Tamás , Braun Gábor , Burcsi Péter , Dombi Gergely , Gyarmati Katalin , Izsák Ferenc , Makai Márton , Pap Gyula , Póczos Barnabás , Sánta Zsuzsa , Séllei Béla , Szádeczky-Kardoss Szabolcs , Tóth Gábor Zsolt , Újváry-Menyhárt Mónika , Valkó Benedek , Vörös Zoltán , Zubcsek Péter Pál |
Füzet: |
1995/április,
227 - 229. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Függvényvizsgálat, Trigonometriai azonosságok, Sorozat határértéke, Konstruktív megoldási módszer, Számsorozatok, Nehéz feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1994/december: N.50 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Definiáljuk a következő sorozatot: A sorozat elemei a megadott alakúak. A definíció értelmes, mert ha (ez a feltétel -re triviális), akkor értelmes és . Azt állítjuk, hogy az sorozat tetszőleges pontossággal megközelíti az -et (vagyis ). Legyen . A rekurzió szerint | | amiből felhasználva, hogy a definíció alapján , | |
Mivel , ebből következik, hogy Ez pedig -hoz tart.
Vörös Zoltán (Tiszavasvári, Váci M. Gimn., III. o.t.) dolgozata alapján |
II. megoldás. Megoldásunk a félszögek trigonometrikus függvényeire vonatkozó azonosságokra épül. Nevezzünk egy számot az egyszerűség kedvéért felírhatónak, ha felírható alakban. Bebizonyítjuk, hogy a felírható számok a intervallumban sűrűn helyezkednek el, azaz tetszőleges esetén létezik felírható szám. Legyen . Ez a függvény szerint periodikus, értékkészlete a intervallum. Másrészt | | ahol előjele az értékétől függ. Ebből az azonosságból következik, hogy ha valamilyen -re felírható, akkor is felírható, csak felírásában eggyel több gyökjel van. Ezt -szor megismételve kapjuk, hogy is felírható. A legegyszerűbb felírható szám a . Ezt az függvény minden hosszúságú intervallumban felveszi, ugyanis tetszőleges egész számra . Legyen most és , ahol . Válasszuk -t olyan nagynak, hogy legyen. Ekkor a intervallumban létezik egy olyan szám, amelyre . Mivel felírható, felírható vele együtt is. Mivel pedig , az is igaz, hogy . Ezzel az állításunkat igazoltuk. Speciálisan, minden -hez található olyan felírható , amelyre , azaz . A alakú számok tehát tetszőlegesen közel lehetnek az -hez.
Megjegyzés. A megoldás kis módosításával be lehet bizonyítani, hogy egy szám pontosan akkor felírható, ha alakú, ahol pozitív egészek.
Póczos Balázs (Miskolc, Földes F. Gimn., III. o.t.) dolgozata alapján |
|
|