Feladat:	N.50	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bárász Tamás ,  Braun Gábor ,  Burcsi Péter ,  Dombi Gergely ,  Gyarmati Katalin ,  Izsák Ferenc ,  Makai Márton ,  Pap Gyula ,  Póczos Barnabás ,  Sánta Zsuzsa ,  Séllei Béla ,  Szádeczky-Kardoss Szabolcs ,  Tóth Gábor Zsolt ,  Újváry-Menyhárt Mónika ,  Valkó Benedek ,  Vörös Zoltán ,  Zubcsek Péter Pál
Füzet:	1995/április, 227 - 229. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Függvényvizsgálat, Trigonometriai azonosságok, Sorozat határértéke, Konstruktív megoldási módszer, Számsorozatok, Nehéz feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1994/december: N.50

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   I. megoldás. Definiáljuk a következő sorozatot: $\begin{array}{c}{\displaystyle a_1=\sqrt[]{2};a_{n+1}=\sqrt[]{2-a_n}\mathrm{.}}\end{array}$ A sorozat elemei a megadott alakúak. A definíció értelmes, mert ha $0<a_n\le \sqrt[]{2}$ (ez a feltétel $n=1$-re triviális), akkor $a_{n+1}$ értelmes és $0<a_{n+1}<\sqrt[]{2}$. Azt állítjuk, hogy az $\left(a_n\right)$ sorozat tetszőleges pontossággal megközelíti az $1$-et (vagyis $a_n\to 1$). Legyen $b_n=a_n-1$. A rekurzió szerint $\begin{array}{c}{\displaystyle b_{n+1}=a_{n+1}-1=\sqrt[]{2-a_n}-1=\frac{{\sqrt[]{2-a_n}}^2-1^2}{\sqrt[]{2-a_n}+1}=\frac{-b_n}{\sqrt[]{2-a_n}+1}\mathrm{,}}\end{array}$ amiből felhasználva, hogy a definíció alapján $a_n\le \sqrt[]{2}$, $\begin{array}{c}{\displaystyle |b_{n+1}|=\frac{|b_n|}{\sqrt[]{2-a_n}+1}\le \frac{|b_n|}{\sqrt[]{2-\sqrt[]{2}}+1}<\frac{3}{5}|b_n|\mathrm{.}}\end{array}$ Mivel $|b_1|=\sqrt[]{2}-1<\frac{3}{5}$, ebből következik, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle |a_n-1|=|b_n|<{\left(\frac{3}{5}\right)}^n\mathrm{.}}\end{array}$ Ez pedig $0$-hoz tart.  Vörös Zoltán (Tiszavasvári, Váci M. Gimn., III. o.t.) dolgozata alapján   II. megoldás. Megoldásunk a félszögek trigonometrikus függvényeire vonatkozó azonosságokra épül. Nevezzünk egy számot az egyszerűség kedvéért felírhatónak, ha felírható $\sqrt[]{2\pm \sqrt[]{2\pm \text{...}\mathrm{.}\pm \sqrt[]{2}}}$ alakban. Bebizonyítjuk, hogy a felírható számok a $\left(0;2\right)$ intervallumban sűrűn helyezkednek el, azaz tetszőleges $0\le a<b\le 2$ esetén létezik $a<u<b$ felírható szám. Legyen $f\left(x\right)=2|\text{cos}x|$. Ez a függvény $\pi$ szerint periodikus, értékkészlete a $\left[0;2\right]$ intervallum. Másrészt $\begin{array}{c}{\displaystyle f\left(\frac{x}{2}\right)=2\left|\text{cos}\frac{x}{2}\right|=2\sqrt[]{\frac{1+\text{cos}x}{2}}=\sqrt[]{2+2\text{cos}x}=\sqrt[]{2\pm f\left(x\right)}\mathrm{,}}\end{array}$ ahol $f\left(x\right)$ előjele az $x$ értékétől függ. Ebből az azonosságból következik, hogy ha valamilyen $x$-re $f\left(x\right)$ felírható, akkor $f\left(\frac{x}{2}\right)$ is felírható, csak felírásában eggyel több gyökjel van. Ezt $k$-szor megismételve kapjuk, hogy $f\left(\frac{x}{2^k}\right)$ is felírható. A legegyszerűbb felírható szám a $\sqrt[]{2}$. Ezt az $f$ függvény minden $\frac{\pi }{2}$ hosszúságú intervallumban felveszi, ugyanis tetszőleges $m$ egész számra $f\left(\left(m+\frac{1}{2}\right)\frac{\pi }{2}\right)=\sqrt[]{2}$. Legyen most $a=f\left(\alpha \right)$ és $b=f\left(\beta \right)$, ahol $0\le \beta <\alpha \le \frac{\pi }{2}$. Válasszuk $k$-t olyan nagynak, hogy $2^k\left(\alpha -\beta \right)>\frac{\pi }{2}$ legyen. Ekkor a $\left(2^k\beta \mathrm{,}{2}^k\alpha \right)$ intervallumban létezik egy olyan $2^k\beta <x_0<2^k\alpha$ szám, amelyre $f\left(x_0\right)=\sqrt[]{2}$. Mivel $f\left(x_0\right)$ felírható, felírható vele együtt $u=f\left(\frac{x_0}{2^k}\right)$ is. Mivel pedig $\beta <\frac{x_0}{2^k}<\alpha$, az is igaz, hogy $a<u<b$. Ezzel az állításunkat igazoltuk. Speciálisan, minden $0<\epsilon <1$-hez található olyan felírható $u$, amelyre $1-\epsilon <u<1+\epsilon$, azaz $|u-1|<\epsilon$. A $\sqrt[]{2\pm \sqrt[]{2\pm \text{...}\mathrm{.}\pm \sqrt[]{2}}}$ alakú számok tehát tetszőlegesen közel lehetnek az $1$-hez.   Megjegyzés. A megoldás kis módosításával be lehet bizonyítani, hogy egy szám pontosan akkor felírható, ha $\left|\text{cos}\frac{2m+1}{2^{k+1}}\pi \right|$ alakú, ahol $m\mathrm{,}k$ pozitív egészek.  Póczos Balázs (Miskolc, Földes F. Gimn., III. o.t.) dolgozata alapján