Feladat: F.3027 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Kiss Ádám ,  Szabó Gergely ,  Szobonya László 
Füzet: 1995/március, 150. oldal  PDF file
Témakör(ök): Háromszögek hasonlósága, Vetítések, Derékszögű háromszögek geometriája, Téglatest, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1994/szeptember: F.3027

Egy téglatest élei 3, 4 és 6 egységnyiek. Elhelyezhető-e a téglatest úgy, hogy adott síkra eső merőleges vetületének kontúrja négyzet legyen?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a vetület síkját S-sel. Helyezzük a téglatestet az S síkra úgy, hogy a 6 egység hosszú éle merőleges legyen S-re. Forgassuk el ezután a téglatestet egyik 4 egységnyi éle körül α szöggel.
A leírt helyzetről egy, a forgástengelyre merőleges síkon levő vetületet rajzoltunk meg. Az ábrán a forgástengely vetülete B, az S síké S'. Használjuk az ábra további jelöléseit is.
A téglatest S-re eső merőleges vetületének kontúrja akkor lesz négyzet, ha x+y=4. Az α-val jelölt szögek egyenlősége révén az AEB és BFC háromszögek hasonlóak, és a hasonlóság aránya 3:6. Ezért CF=2x, és a Pitagorasz-tétel szerint 4x2+y2=36. Mivel x+y=4, x-re a következő másodfokú egyenletet kapjuk: 5x2-8x-20=0, amiből x=8±46410. Tekintve, hogy x>0, x=4+1165. Ezután cosα=4+11615 alapján α10.
A feladatnak más megoldása nincs, mert a 3 egységnyi él körül forgatva, az előbbihez hasonló jelölésekkel

x+y=4cosα+6sinα=4(cosα+sinα)+2sinα>3
minden α hegyesszögre, hiszen cosα+sinα>1  (α>0); a 6 egység hosszú él körül forgatva pedig a maximális x+y érték csak 9+16=5 lesz.
 Szabó Gergely (Debrecen, Fazekas M. Gimn., III. o.t.)

 
Megjegyzés. Kiss Ádám és Szobonya László bebizonyította, hogy minden téglatestnek van (legfeljebb két) olyan elhelyezése, amelynél adott síkra eső merőleges vetületének kontúrja négyzet lesz.