Kezdőlap


Feladat:	F.3027	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Kiss Ádám , Szabó Gergely , Szobonya László
Füzet:	1995/március, 150. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Vetítések, Derékszögű háromszögek geometriája, Téglatest, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1994/szeptember: F.3027

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a vetület síkját $S$ -sel. Helyezzük a téglatestet az $S$ síkra úgy, hogy a 6 egység hosszú éle merőleges legyen $S$ -re. Forgassuk el ezután a téglatestet egyik 4 egységnyi éle körül $α$ szöggel.
A leírt helyzetről egy, a forgástengelyre merőleges síkon levő vetületet rajzoltunk meg. Az ábrán a forgástengely vetülete $B$ , az $S$ síké $S'$ . Használjuk az ábra további jelöléseit is.
A téglatest $S$ -re eső merőleges vetületének kontúrja akkor lesz négyzet, ha $x + y = 4$ . Az $α$ -val jelölt szögek egyenlősége révén az $A E B$ és $B F C$ háromszögek hasonlóak, és a hasonlóság aránya $3 : 6$ . Ezért $C F = 2 x$ , és a Pitagorasz-tétel szerint $4 x^{2} + y^{2} = 36$ . Mivel $x + y = 4$ , $x$ -re a következő másodfokú egyenletet kapjuk: $5 x^{2} - 8 x - 20 = 0$ , amiből $x = \frac{8 \pm \sqrt[]{464}}{10}$ . Tekintve, hogy $x > 0$ , $x = \frac{4 + \sqrt[]{116}}{5}$ . Ezután $cos α = \frac{4 + \sqrt[]{116}}{15}$ alapján $α \approx 10^{\circ}$ .
A feladatnak más megoldása nincs, mert a 3 egységnyi él körül forgatva, az előbbihez hasonló jelölésekkel

\begin{matrix} x + y = 4 \cdot cos α + 6 \cdot sin α = 4 \cdot (cos α + sin α) + 2 \cdot sin α > 3 \end{matrix}

minden

α

hegyesszögre, hiszen

cos α + sin α > 1

(

α > 0

); a 6 egység hosszú él körül forgatva pedig a maximális

x + y

érték csak

\sqrt[]{9 + 16} = 5

lesz.

Szabó Gergely (Debrecen, Fazekas M. Gimn., III. o.t.)

Megjegyzés. Kiss Ádám és Szobonya László bebizonyította, hogy minden téglatestnek van (legfeljebb két) olyan elhelyezése, amelynél adott síkra eső merőleges vetületének kontúrja négyzet lesz.