Feladat: Gy.2933 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Deli Tamás ,  Jeszenszky Gyula ,  Kőműves Balázs ,  Soós Gergely ,  Szikszai Boglárka ,  Zámbó Tibor ,  Zsitva Miklós 
Füzet: 1995/március, 145 - 146. oldal  PDF file
Témakör(ök): Beírt gömb, Gúlák, Téglatest, Térfogat, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1994/szeptember: Gy.2933

Egy háromszög alapú gúla oldalélei 2 cm, 4 cm és 6 cm hosszúak és páronként merőlegesek egymásra. Mekkora a gúla körülírt és beírt gömbjeinek sugara?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a gúla csúcsait A, B, C, D-vel úgy, hogy az A-ban találkozó élek legyenek páronként merőlegesek, és AB=2, AC=6 és AD=4cm legyen.
Tekintsük a gúla köré írt gömböt. Ezt az ABC sík egy körben metszi. Mivel az ABC háromszög derékszögű, ezért ennek a körnek a középpontja a BC él felezőpontja. Ekkor viszont az A-nak a BC felezőpontjára vonatkozó A' tükörképe is rajta van ezen a körön, s így egyúttal a gúla köré írt gömbön is. Ugyanígy kapjuk, hogy A-nak a BD felezőpontjára vonatkozó A'' és a CD felezőpontjára vonatkozó A''' tükörképe is a gömb egy-egy pontja (1. ábra). A tükrözés miatt az ABA'C, ABA''D és ACA'''D négyszögek téglalapok, amelyek síkjai ‐ AB, AC és AD merőlegessége miatt ‐ egymásra páronként merőlegesek. Ez a hét pont tehát egy olyan téglatest hét csúcsa, amely téglatest körülírt gömbje megegyezik az ABCD gúla körülírt gömbjével. A téglatest körülírt gömbjének sugara éppen a testátló fele. A testátló négyzete megegyezik az egy csúcsban találkozó élek négyzetének összegével, tehát a körülírt gömb sugara:

R=1222+42+62=14cm.

Jelöljük a beírt gömb középpontját O-val, sugarát r-rel. Kössük össze O-t a gúla csúcsaival. Így a gúlát négy olyan tetraéderre bontottuk fel, amelyek alaplapjai az eredeti gúla lapjai, az ezekhez tartozó magasságuk pedig r (2. ábra). E négy kis tetraéder térfogatának összege megegyezik a gúla térfogatával. Az A-ban találkozó élek merőlegessége miatt a gúla térfogata 16246=8cm3, tehát:
8=13r(TABC+TABD+TACD+TBCD).

A háromszögek közt három derékszögű van, ezek területe egyszerűen kiszámolható az élek ismeretében. A BCD háromszög oldalait Pitagorasz tételét használva kaphatjuk meg: ha AB=2, AC=6 és AD=4, akkor BC=22+62=40, BD=22+42=20 és CD=42+62=52. Az oldalak ismeretében a háromszög területét Héron képletével számítjuk ki:
4TBCD==(40+20+52)(40+20-52)(40-20+52)(-40+20+52)==(8+2800)(-8+2800)=3136=56.
Ezt beírjuk a térfogatra felírt egyenletbe:
8=13r(8+4+12+14),
amiből r=23 cm.
Tehát a gúla körülírt gömbjének sugara 14 cm, a beírt gömbjének sugara pedig 23 cm.
 Zámbó Tibor (Kaposvár, Római Katolikus Gimn., II.o.t.)