A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Jelöljük a gúla csúcsait , , , -vel úgy, hogy az -ban találkozó élek legyenek páronként merőlegesek, és , és cm legyen. Tekintsük a gúla köré írt gömböt. Ezt az sík egy körben metszi. Mivel az háromszög derékszögű, ezért ennek a körnek a középpontja a él felezőpontja. Ekkor viszont az -nak a felezőpontjára vonatkozó tükörképe is rajta van ezen a körön, s így egyúttal a gúla köré írt gömbön is. Ugyanígy kapjuk, hogy -nak a felezőpontjára vonatkozó és a felezőpontjára vonatkozó tükörképe is a gömb egy-egy pontja (1. ábra). A tükrözés miatt az , és négyszögek téglalapok, amelyek síkjai ‐ , és merőlegessége miatt ‐ egymásra páronként merőlegesek. Ez a hét pont tehát egy olyan téglatest hét csúcsa, amely téglatest körülírt gömbje megegyezik az gúla körülírt gömbjével. A téglatest körülírt gömbjének sugara éppen a testátló fele. A testátló négyzete megegyezik az egy csúcsban találkozó élek négyzetének összegével, tehát a körülírt gömb sugara: Jelöljük a beírt gömb középpontját -val, sugarát -rel. Kössük össze -t a gúla csúcsaival. Így a gúlát négy olyan tetraéderre bontottuk fel, amelyek alaplapjai az eredeti gúla lapjai, az ezekhez tartozó magasságuk pedig (2. ábra). E négy kis tetraéder térfogatának összege megegyezik a gúla térfogatával. Az -ban találkozó élek merőlegessége miatt a gúla térfogata , tehát: | |
A háromszögek közt három derékszögű van, ezek területe egyszerűen kiszámolható az élek ismeretében. A háromszög oldalait Pitagorasz tételét használva kaphatjuk meg: ha , és , akkor , és . Az oldalak ismeretében a háromszög területét Héron képletével számítjuk ki: | | Ezt beírjuk a térfogatra felírt egyenletbe: amiből cm. Tehát a gúla körülírt gömbjének sugara cm, a beírt gömbjének sugara pedig cm.
Zámbó Tibor (Kaposvár, Római Katolikus Gimn., II.o.t.) |
|