Feladat: F.3013 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Burcsi Péter ,  Farkas Illés ,  Gergely Levente ,  Gilyén Péter ,  Gombos László ,  Kasza Tamás ,  Kiss Márton ,  Kiss Zoltán ,  Kucsera Judit ,  Maróti Gábor ,  Németh Zoltán ,  Pap Gyula ,  Puskás Zsolt ,  Szádeczky-Kardoss Szabolcs ,  Tóth László ,  Tóth Mariann ,  Valkó Benedek 
Füzet: 1995/január, 28. oldal  PDF file
Témakör(ök): Geometriai egyenlőtlenségek, Derékszögű háromszögek geometriája, Súlyvonal, Terület, felszín, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1994/április: F.3013

Az ABC háromszög A és C csúcsaiból induló súlyvonalai merőlegesek egymásra. Igaz-e, hogy AC2 nagyobb, mint a háromszög területe?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

 
I. megoldás. Legyen a háromszög súlypontja S. Használjuk az ábra további jelöléseit. Mivel az ASC háromszög derékszögű, és BG súlyvonal:
BG3=SG=AC2.
A BG súlyvonal legalább akkora, mint a háromszög AC-hez tartozó magassága, ezért a háromszög t területe így becsülhető: tACBG2. Előbbi eredményünkkel tAC3AC4=34AC2<AC2. Tehát a terület mindig kisebb, mint AC2.
 Kiss Zoltán (Szombathely, Nagy Lajos Gimn., III. o.t.)

 
II. megoldás. Az AFC háromszög területe 3x2z2=3xz. Bármelyik súlyvonal a háromszöget két egyenlő területű részre osztja, tehát a háromszög területe:
t=6xz.(1)
A Pitagorasz-tétel szerint
AC2=4x2+4z2,továbbá(2)(2x-2z)2=4x2+4z2-8xz0.(3)
(3) alapján 4x2+4z28xz>6xz, hiszen x és z pozitív számok, amiből (1) és (2) szerint a háromszög területe kisebb, mint AC2.
 Tóth Mariann (Debrecen, Fazekas M. Gimn., II. o.t.)