Feladat:	F.3013	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Burcsi Péter ,  Farkas Illés ,  Gergely Levente ,  Gilyén Péter ,  Gombos László ,  Kasza Tamás ,  Kiss Márton ,  Kiss Zoltán ,  Kucsera Judit ,  Maróti Gábor ,  Németh Zoltán ,  Pap Gyula ,  Puskás Zsolt ,  Szádeczky-Kardoss Szabolcs ,  Tóth László ,  Tóth Mariann ,  Valkó Benedek
Füzet:	1995/január, 28. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Geometriai egyenlőtlenségek, Derékszögű háromszögek geometriája, Súlyvonal, Terület, felszín, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1994/április: F.3013

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   I. megoldás. Legyen a háromszög súlypontja $S$. Használjuk az ábra további jelöléseit. Mivel az $ASC$ háromszög derékszögű, és $BG$ súlyvonal: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{BG}{3}=SG=\frac{AC}{2}\mathrm{.}}\end{array}$ A $BG$ súlyvonal legalább akkora, mint a háromszög $AC$-hez tartozó magassága, ezért a háromszög $t$ területe így becsülhető: $t\le \frac{AC\cdot BG}{2}$. Előbbi eredményünkkel $t\le \frac{AC\cdot 3AC}{4}=\frac{3}{4}A{C}^2<A{C}^2$. Tehát a terület mindig kisebb, mint $A{C}^2$.  Kiss Zoltán (Szombathely, Nagy Lajos Gimn., III. o.t.)   II. megoldás. Az $AFC$ háromszög területe $\frac{3x\cdot 2z}{2}=3xz$. Bármelyik súlyvonal a háromszöget két egyenlő területű részre osztja, tehát a háromszög területe: $\begin{array}{c}{\displaystyle t=6xz\mathrm{.}}\end{array}$ (1) A Pitagorasz-tétel szerint $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{ccc}\hfill {\displaystyle }& {\displaystyle A{C}^2=4x^2+4z^2\mathrm{,}\text{továbbá}}\hfill & \hfill {\displaystyle \left(2\right)}\\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle {\left(2x-2z\right)}^2=4x^2+4z^2-8xz\ge 0.}\hfill & \hfill {\displaystyle \left(3\right)}\end{array}}}\end{array}$ (3) alapján $4x^2+4z^2\ge 8xz>6xz$, hiszen $x$ és $z$ pozitív számok, amiből (1) és (2) szerint a háromszög területe kisebb, mint $A{C}^2$.  Tóth Mariann (Debrecen, Fazekas M. Gimn., II. o.t.)