Feladat: F.3008 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bámer Balázs ,  Bánhalmi András ,  Barsi László ,  Burcsi Péter ,  Gergely Levente ,  Gilyén Péter ,  Gyarmati Katalin ,  Hegedűs Viktor ,  Herényi Gergely ,  Horváth István ,  Kováts Antal ,  Kozma Róbert ,  Kucsera Judit ,  Maróti Gábor ,  Mosonyi Milán ,  Nagy Gábor ,  Németh Zoltán ,  Pákozdi Tibor ,  Pap Gyula ,  Perényi Márton ,  Rózsa Gábor ,  Sági Krisztián ,  Sarlós Tamás ,  Somogyi Balázs ,  Torma Péter ,  Valkó Benedek ,  Véber Miklós ,  Vörös Zoltán 
Füzet: 1995/január, 25 - 26. oldal  PDF file
Témakör(ök): Algebrai átalakítások, Trigonometriai azonosságok, Terület, felszín, Jensen-féle egyenlőtlenség, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1994/március: F.3008

Egy hegyesszögű háromszög oldalai a, b, c, területe T. Bizonyítsuk be, hogy
Ta2b2-4T2+Tb2c2-4T2+Tc2a2-4T2332.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Alakítsuk át a bal oldali összeg első tagját a következőképpen:

Ta2b2-4T2=T24T2sin2γ-4T2=14sin2γ-4=sin2γ4cos2γ=12|tgγ|=12tgγ,
(felhasználtuk, hogy 0<γ<π2, így a nevező sehol sem zérus.) A másik két tagot hasonlóan alakítva a bizonyítandóval ekvivalens állítás:
12tgα+12tgβ+12tgγ332,azaztgα+tgβ+tgγ33.(1)
Mivel a tgx függvény a (0;π2) intervallumon konvex, Jensen tétele szerint
tgα+tgβ+tgγ3tgα+β+γ3=3tgπ3=33,
és egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn, ha α=β=γ. Ezzel a feladat állítását beláttuk.
 
 Maróti Gábor (Szombathely, Nagy Lajos Gimn., IV. o.t.)

 
Megjegyzés. Több megoldónk az (1) állítást a következőképpen igazolta: Ismeretes, hogy bármely nem derékszögű háromszög szögeire
tgα+tgβ+tgγ=tgαtgβtgγ.(2)
Mivel a háromszög hegyesszögű, a szögek tangense pozitív, és így
tgα+tgβ+tgγ3tgαtgβtgγ3,amiből (2) alapján:(tgα+tgβ+tgγ)327tgα+tgβ+tgγ,azaztgα+tgβ+tgγ33,
és egyenlőség pontosan akkor áll fenn, ha tgα=tgβ=tgγ, tehát amikor a háromszög szabályos.