|
Feladat: |
F.3008 |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Bámer Balázs , Bánhalmi András , Barsi László , Burcsi Péter , Gergely Levente , Gilyén Péter , Gyarmati Katalin , Hegedűs Viktor , Herényi Gergely , Horváth István , Kováts Antal , Kozma Róbert , Kucsera Judit , Maróti Gábor , Mosonyi Milán , Nagy Gábor , Németh Zoltán , Pákozdi Tibor , Pap Gyula , Perényi Márton , Rózsa Gábor , Sági Krisztián , Sarlós Tamás , Somogyi Balázs , Torma Péter , Valkó Benedek , Véber Miklós , Vörös Zoltán |
Füzet: |
1995/január,
25 - 26. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Algebrai átalakítások, Trigonometriai azonosságok, Terület, felszín, Jensen-féle egyenlőtlenség, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1994/március: F.3008 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Alakítsuk át a bal oldali összeg első tagját a következőképpen: | | (felhasználtuk, hogy , így a nevező sehol sem zérus.) A másik két tagot hasonlóan alakítva a bizonyítandóval ekvivalens állítás: | | Mivel a függvény a intervallumon konvex, Jensen tétele szerint | | és egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn, ha . Ezzel a feladat állítását beláttuk.
Maróti Gábor (Szombathely, Nagy Lajos Gimn., IV. o.t.) |
Megjegyzés. Több megoldónk az (1) állítást a következőképpen igazolta: Ismeretes, hogy bármely nem derékszögű háromszög szögeire | | (2) | Mivel a háromszög hegyesszögű, a szögek tangense pozitív, és így | | és egyenlőség pontosan akkor áll fenn, ha , tehát amikor a háromszög szabályos.
|
|