Kezdőlap


Feladat:	F.3008	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bámer Balázs , Bánhalmi András , Barsi László , Burcsi Péter , Gergely Levente , Gilyén Péter , Gyarmati Katalin , Hegedűs Viktor , Herényi Gergely , Horváth István , Kováts Antal , Kozma Róbert , Kucsera Judit , Maróti Gábor , Mosonyi Milán , Nagy Gábor , Németh Zoltán , Pákozdi Tibor , Pap Gyula , Perényi Márton , Rózsa Gábor , Sági Krisztián , Sarlós Tamás , Somogyi Balázs , Torma Péter , Valkó Benedek , Véber Miklós , Vörös Zoltán
Füzet:	1995/január, 25 - 26. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Trigonometriai azonosságok, Terület, felszín, Jensen-féle egyenlőtlenség, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1994/március: F.3008

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Alakítsuk át a bal oldali összeg első tagját a következőképpen:

\begin{matrix} \frac{T}{\sqrt[]{a^{2} b^{2} - 4 T^{2}}} = \sqrt[]{\frac{T^{2}}{\frac{4 T^{2}}{sin^{2} γ} - 4 T^{2}}} = \sqrt[]{\frac{1}{\frac{4}{sin^{2} γ} - 4}} = \sqrt[]{\frac{sin^{2} γ}{4 cos^{2} γ}} = \frac{1}{2} | tg γ | = \frac{1}{2} tg γ, \end{matrix}

(felhasználtuk, hogy

0 < γ < \frac{π}{2}

, így a nevező sehol sem zérus.) A másik két tagot hasonlóan alakítva a bizonyítandóval ekvivalens állítás:

\begin{matrix} \begin{matrix} \frac{1}{2} tg α + \frac{1}{2} tg β + \frac{1}{2} tg γ & \geq \frac{3 \sqrt[]{3}}{2}, azaz \\ tg α + tg β + tg γ & \geq 3 \sqrt[]{3} . & (1) \end{matrix} \end{matrix}

Mivel a

tg x

függvény a

(0; \frac{π}{2})

intervallumon konvex, Jensen tétele szerint

\begin{matrix} tg α + tg β + tg γ \geq 3 \cdot tg \frac{α + β + γ}{3} = 3 tg \frac{π}{3} = 3 \sqrt[]{3}, \end{matrix}

és egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn, ha

α = β = γ

. Ezzel a feladat állítását beláttuk.

Maróti Gábor (Szombathely, Nagy Lajos Gimn., IV. o.t.)

Megjegyzés. Több megoldónk az (1) állítást a következőképpen igazolta: Ismeretes, hogy bármely nem derékszögű háromszög szögeire

\begin{matrix} tg α + tg β + tg γ = tg α \cdot tg β \cdot tg γ . \end{matrix}

(2)

Mivel a háromszög hegyesszögű, a szögek tangense pozitív, és így

\begin{matrix} \begin{matrix} \frac{tg α + tg β + tg γ}{3} & \geq \sqrt[3]{tg α \cdot tg β \cdot tg γ}, amiből (2) alapján: \\ \frac{{(tg α + tg β + tg γ)}^{3}}{27} & \geq tg α + tg β + tg γ, azaz \\ tg α + tg β + tg γ & \geq 3 \sqrt[]{3}, \end{matrix} \end{matrix}

és egyenlőség pontosan akkor áll fenn, ha

tg α = tg β = tg γ

, tehát amikor a háromszög szabályos.