Feladat: Gy.2904 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Braun Gábor ,  Brezovich László ,  Burcsi Péter ,  Elek Péter ,  Fejes Tóth Péter ,  Fekete Zsolt ,  Frenkel Péter ,  Juhász András ,  Kegyes Bálint ,  Kovács András ,  Kovács Baldvin ,  Lippner Gábor ,  Makai Márton ,  Mátrai Tamás ,  Pap Gyula ,  Perényi Márton ,  Pólik Imre ,  Reviczky Ágnes ,  Szilágyi Jenő ,  Szobonya László ,  Tóth Péter 
Füzet: 1995/január, 13 - 14. oldal  PDF file
Témakör(ök): Egyenlőtlenségek, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Abszolútértékes függvények, Másodfokú függvények, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1994/március: Gy.2904

Az a és b valós paraméterek mely értékei esetén lesz a legkisebb az |x2+ax+b| függvénynek a [-1,1] intervallumon felvett maximuma?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Azt fogjuk igazolni, hogy

maxx[-1,1]|x2+ax+b|12,
és egyenlőség csak az x2-12 polinomra áll. Tegyük föl, hogy valamilyen a, b esetén
|x2+ax+b|12(1)
teljesül minden -1x1 számra. Belátjuk, hogy ekkor a=0, b=-12.
Az x2+ax+b függvény a [-1,1] intervallumon abszolút értékének maximumát vagy az intervallum valamelyik szélén, vagy ‐ amennyiben az a [-1,1] intervallumhoz tartozik ‐ az x2+ax+b parabola csúcsában veszi föl. Az
x2+ax+b=(x+a2)2+b-a24
átalakítás mutatja, hogy a parabola csúcsa az x=-a2 pontban van. Célszerűnek látszik tehát (1)-et a -1; +1 és -a2 pontokban felírni (ha |-a2|1). Lássuk előbb +1-re és -1-re:
-121+a+b12,(2)-121-a+b12.(3)
(3)-ból
-12-1+a-b12,
ezt (2)-höz adva
-12a1,
azaz
|a|12.
Ezek szerint a parabola csúcsa a [-1,1] intervallumba esik, s így felírhatjuk ott is (1)-et:
-12b-a2412,
amiből
ba24-12-12.
(2)-t és (3)-at összeadva azt kapjuk, hogy
-12+2b1,
aminek jobb oldalából
b-12.
Ezek alapján
-12ba24-12-12,
ami csak úgy állhat fönn, ha
b=-12,a=0;
ekkor x2+ax+b-re
maxx[-1,1]|x2+ax+b|=maxx[-1,1]|x2-12|=12.