Kezdőlap


Feladat:	Gy.2904	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Braun Gábor , Brezovich László , Burcsi Péter , Elek Péter , Fejes Tóth Péter , Fekete Zsolt , Frenkel Péter , Juhász András , Kegyes Bálint , Kovács András , Kovács Baldvin , Lippner Gábor , Makai Márton , Mátrai Tamás , Pap Gyula , Perényi Márton , Pólik Imre , Reviczky Ágnes , Szilágyi Jenő , Szobonya László , Tóth Péter
Füzet:	1995/január, 13 - 14. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenlőtlenségek, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Abszolútértékes függvények, Másodfokú függvények, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1994/március: Gy.2904

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Azt fogjuk igazolni, hogy

\begin{matrix} {max}_{x \in [- 1,1]}^{} | x^{2} + a x + b | \geq \frac{1}{2}, \end{matrix}

és egyenlőség csak az

x^{2} - \frac{1}{2}

polinomra áll. Tegyük föl, hogy valamilyen

a

b

esetén

\begin{matrix} | x^{2} + a x + b | \leq \frac{1}{2} \end{matrix}

(1)

teljesül minden

- 1 \leq x \leq 1

számra. Belátjuk, hogy ekkor

a = 0

b = - \frac{1}{2}

.
Az

x^{2} + a x + b

függvény a

[- 1,1]

intervallumon abszolút értékének maximumát vagy az intervallum valamelyik szélén, vagy ‐ amennyiben az a

[- 1,1]

intervallumhoz tartozik ‐ az

x^{2} + a x + b

parabola csúcsában veszi föl. Az

\begin{matrix} x^{2} + a x + b = {(x + \frac{a}{2})}^{2} + b - \frac{a^{2}}{4} \end{matrix}

átalakítás mutatja, hogy a parabola csúcsa az

x = - \frac{a}{2}

pontban van. Célszerűnek látszik tehát (1)-et a

- 1

;

+ 1

és

- \frac{a}{2}

pontokban felírni (ha

| - \frac{a}{2} | \leq 1

). Lássuk előbb

+ 1

-re és

- 1

-re:

\begin{matrix} \begin{matrix} - \frac{1}{2} \leq 1 + a + b \leq \frac{1}{2}, & (2) \\ - \frac{1}{2} \leq 1 - a + b \leq \frac{1}{2} . & (3) \end{matrix} \end{matrix}

(3)-ból

\begin{matrix} - \frac{1}{2} \leq - 1 + a - b \leq \frac{1}{2}, \end{matrix}

ezt (2)-höz adva

\begin{matrix} - 1 \leq 2 a \leq 1, \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} | a | \leq \frac{1}{2} . \end{matrix}

Ezek szerint a parabola csúcsa a

[- 1,1]

intervallumba esik, s így felírhatjuk ott is (1)-et:

\begin{matrix} - \frac{1}{2} \leq b - \frac{a^{2}}{4} \leq \frac{1}{2}, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} b \geq \frac{a^{2}}{4} - \frac{1}{2} \geq - \frac{1}{2} . \end{matrix}

(2)-t és (3)-at összeadva azt kapjuk, hogy

\begin{matrix} - 1 \leq 2 + 2 b \leq 1, \end{matrix}

aminek jobb oldalából

\begin{matrix} b \leq - \frac{1}{2} . \end{matrix}

Ezek alapján

\begin{matrix} - \frac{1}{2} \geq b \geq \frac{a^{2}}{4} - \frac{1}{2} \geq - \frac{1}{2}, \end{matrix}

ami csak úgy állhat fönn, ha

\begin{matrix} b = - \frac{1}{2}, a = 0; \end{matrix}

ekkor

x^{2} + a x + b

-re

\begin{matrix} {max}_{x \in [- 1,1]}^{} | x^{2} + a x + b | = {max}_{x \in [- 1,1]}^{} | x^{2} - \frac{1}{2} | = \frac{1}{2} . \end{matrix}