Feladat: C.357 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Auffenberg Noémi ,  Bakonyi Zoltán ,  Bojcán Tamás ,  Cseh Árpád ,  Hadházi László ,  Hegedűs Dalma ,  Jarábik Béla ,  Korim Ferenc ,  Kósa Gyula ,  Kovács András ,  Márkus Erika ,  Orosz Arnold ,  Papp Ágnes ,  Pilhál Zsolt ,  Polyák Krisztina ,  Ritecz Katalin ,  Rovák Péter ,  Sáska Krisztián ,  Schumayer Dániel ,  Sebők Tamás ,  Simon János ,  Sulák Andrea ,  Szabadszállási Tibor ,  Szabó András ,  Szántó Balázs ,  Zömbik László 
Füzet: 1995/január, 10 - 11. oldal  PDF file
Témakör(ök): Egyenlőtlenségek grafikus megoldása, Irracionális egyenlőtlenségek, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1994/április: C.357

Oldjuk meg a valós számok halmazán a következő egyenlőtlenséget:
x+6>x-6.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ábrázoljuk az

f(x)=x+6(ÉT:  x-6)és ag(x)=x-6(ÉT:  xR)
függvényeket ugyanabban a koordináta-rendszerben.
 
 

Az egyenlőtlenség megoldás-halmazának elemei csak a -6-nál nem kisebb valós szám közül kerülhetnek ki. f(-6)=0, g(-6)=-12, tehát x=-6-nál az egyenlőtlenség teljesül.
Mindkét függvény szigorúan monoton növekedő, de egy kis kezdeti szakaszt leszámítva f(x) lassabban nő, mint g(x). Számítsuk ki, hogy hol ,,éri utol'' g(x) az f(x)-et. A
x+6=x-6(x-6)
egyenlet ,,hagyományos'' megoldása mindkét oldal négyzetre emelésével történik, amelynek révén következmény egyenletet kapunk. Az
x+6=(x-6)2
egyenlet gyökei között az eredeti egyenlet gyökét (gyökeit) megtaláljuk, de hamis gyök is felléphet. (A négyzetre emelés nem ekvivalens átalakítás.) A kapott
x2-13x+30=0
másodfokú egyenlet gyökei: x1=10, x2=3. Ez utóbbi hamis gyök. Az eredeti egyenletet x1=10 kielégíti, x2=3 viszont nem.
Mindezek alapján az egyenlőtlenség megoldása:
-6x<10.

 Hegedűs Dalma (Siófok, Perczel Mór Gimn., I. o.t.)

 
Megjegyzés. Nagyon sokan beleestek a csapdába, mivel nem ellenőrizték a gyököket, így számukra nem derült ki, hogy a 3 hamis gyök. Talán könnyebben lelepleződik a hamis gyök, ha a x+6=x-6 egyenletet az
(x+6)-x-6-12=0
alakban írjuk. Ez x+6-ban másodfokú egyenlet. A megoldóképlet alapján
x+6=1±1+482={4,-3.
Mivel x+60, azért csak x+6=4, vagyis x=10 felel meg.