Kezdőlap


Feladat:	C.357	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Auffenberg Noémi , Bakonyi Zoltán , Bojcán Tamás , Cseh Árpád , Hadházi László , Hegedűs Dalma , Jarábik Béla , Korim Ferenc , Kósa Gyula , Kovács András , Márkus Erika , Orosz Arnold , Papp Ágnes , Pilhál Zsolt , Polyák Krisztina , Ritecz Katalin , Rovák Péter , Sáska Krisztián , Schumayer Dániel , Sebők Tamás , Simon János , Sulák Andrea , Szabadszállási Tibor , Szabó András , Szántó Balázs , Zömbik László
Füzet:	1995/január, 10 - 11. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenlőtlenségek grafikus megoldása, Irracionális egyenlőtlenségek, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1994/április: C.357

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ábrázoljuk az

\begin{matrix} f (x) = \sqrt[]{x + 6} (ÉT:x \geq - 6) és a g (x) = x - 6 (ÉT:x \in R) \end{matrix}

függvényeket ugyanabban a koordináta-rendszerben.

Az egyenlőtlenség megoldás-halmazának elemei csak a

- 6

-nál nem kisebb valós szám közül kerülhetnek ki.

f (- 6) = 0

g (- 6) = - 12

, tehát

x = - 6

-nál az egyenlőtlenség teljesül.
Mindkét függvény szigorúan monoton növekedő, de egy kis kezdeti szakaszt leszámítva

f (x)

lassabban nő, mint

g (x)

. Számítsuk ki, hogy hol ,,éri utol''

g (x)

f (x)

-et. A

\begin{matrix} \sqrt[]{x + 6} = x - 6 (x \geq - 6) \end{matrix}

egyenlet ,,hagyományos'' megoldása mindkét oldal négyzetre emelésével történik, amelynek révén következmény egyenletet kapunk. Az

\begin{matrix} x + 6 = {(x - 6)}^{2} \end{matrix}

egyenlet gyökei között az eredeti egyenlet gyökét (gyökeit) megtaláljuk, de hamis gyök is felléphet. (A négyzetre emelés nem ekvivalens átalakítás.) A kapott

\begin{matrix} x^{2} - 13 x + 30 = 0 \end{matrix}

másodfokú egyenlet gyökei:

x_{1} = 10

x_{2} = 3

. Ez utóbbi hamis gyök. Az eredeti egyenletet

x_{1} = 10

kielégíti,

x_{2} = 3

viszont nem.
Mindezek alapján az egyenlőtlenség megoldása:

\begin{matrix} - 6 \leq x < 10. \end{matrix}

Hegedűs Dalma (Siófok, Perczel Mór Gimn., I. o.t.)

Megjegyzés. Nagyon sokan beleestek a csapdába, mivel nem ellenőrizték a gyököket, így számukra nem derült ki, hogy a 3 hamis gyök. Talán könnyebben lelepleződik a hamis gyök, ha a

\sqrt[]{x + 6} = x - 6

egyenletet az

\begin{matrix} (x + 6) - \sqrt[]{x - 6} - 12 = 0 \end{matrix}

alakban írjuk. Ez

\sqrt[]{x + 6}

-ban másodfokú egyenlet. A megoldóképlet alapján

\begin{matrix} \sqrt[]{x + 6} = \frac{1 \pm \sqrt[]{1 + 48}}{2} = {\binom{4,}{- 3.} \end{matrix}

Mivel

\sqrt[]{x + 6} \geq 0

, azért csak

\sqrt[]{x + 6} = 4

, vagyis

x = 10

felel meg.