Feladat: Gy.3101 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Balogh Attila ,  Besenyei Ádám ,  Bodor Adrienn ,  Bokros Krisztián ,  Csurdi Abigél ,  Davidovics Gábor ,  Devecsery András ,  Gueth Krisztián ,  Gyenes Zoltán ,  Hangya Balázs ,  Horváth László ,  Huszár Péter ,  Keszegh Balázs ,  Klausz Ferenc ,  Kleinheincz Zoltán ,  Lengyel Tímea ,  Lódi Edit ,  Máthé András ,  Micskei Zoltán ,  Moór Csaba ,  Nagy Máté ,  Naszódi Gergely ,  Révai Balázs ,  Schmeiszer Kornél ,  Schmeiszer Krisztián ,  Szalontay Mihály ,  Szép László ,  Taraza Busra ,  Terpai Tamás ,  Tolvaj Nándor ,  Vaik István ,  Végh László ,  Zábrádi Gergely ,  Zám Katalin 
Füzet: 1997/október, 409 - 410. oldal  PDF file
Témakör(ök): Tetraéderek, Hossz, kerület, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1996/december: Gy.3101

Az ABCD tetraéder éleiről tudjuk, hogy
AB>CD>AC>BC>AD>BD.(2)
A tetraéder szemközti élpárjainak felezőpontjait összekötő szakaszok közül melyik a legrövidebb?

Jelöljük a tetraéder éleinek felezőpontjait az ábrán látható módon J, K, E, O, Z, X-szel. A csúcsban szomszédos élek felezőpontjait összekötő szakaszok a tetraéder egy-egy háromszöglapjának középvonalai, ezért párhuzamosak a tetraéder egy-egy élével, hosszuk pedig a megfelelő él hosszának a fele. Így
ZX=EO=AB2;ZE=OX=CD2;KZ=OJ=AC2;KX=EJ=BC2;EK=XJ=AD2ésZJ=KO=BD2.

 
 

Ebből az is következik, hogy az EOXZ, KZJO és KEJX négyszögek paralelogrammák, mert szemközti oldalaik párhuzamosak és egyenlő hosszúak.
Ismert, hogy egy paralelogramma átlóinak négyzetösszege megegyezik oldalainak négyzetösszegével. Ezért
EX2+ZO2=EO2+OX2+ZX2+ZE2=12(AB2+CD2),(1)ZO2+KJ2=ZJ2+OJ2+KO2+KZ2=12(AC2+BD2),(2)EX2+KJ2=EJ2+XJ2+EK2+KX2=12(BC2+AD2).(3)
Az (1) egyenletből a (2)-t, illetve a (3)-at kivonva és felhasználva a tetraéder élhosszai közti egyenlőtlenségeket, kapjuk, hogy
EX2-KJ2=12[(AB2+CD2)-(AC2+BD2)]=12[(AB2-AC2)+(CD2-BD2)]>0,ZO2-KJ2=12[(AB2+CD2)-(BC2+AD2)]=12[(AB2-BC2)+(CD2-AD2)]>0.
Tehát EX>KJ és ZO>KJ.
Vagyis a szemközti élpárok felezőpontjait összekötő szakaszok közül az AB és CD ‐ a leghosszabb élek ‐ felezőpontjait összekötő szakasz a legrövidebb.
 Zám Katalin (Eger, Szilágyi E. Gimn., I. o.t.) dolgozata alapján

 
Megjegyzés. Az (1)‐(3) egyenletrendszerből könnyen kifejezhetjük a szemközti élpárok felezőpontjait összekötő szakaszok hosszát a tetraéder éleivel. Például:
KJ2=14(AC2+BC2+AD2+BD2-AB2-CD2).