Kezdőlap


Feladat:	Gy.3101	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Balogh Attila , Besenyei Ádám , Bodor Adrienn , Bokros Krisztián , Csurdi Abigél , Davidovics Gábor , Devecsery András , Gueth Krisztián , Gyenes Zoltán , Hangya Balázs , Horváth László , Huszár Péter , Keszegh Balázs , Klausz Ferenc , Kleinheincz Zoltán , Lengyel Tímea , Lódi Edit , Máthé András , Micskei Zoltán , Moór Csaba , Nagy Máté , Naszódi Gergely , Révai Balázs , Schmeiszer Kornél , Schmeiszer Krisztián , Szalontay Mihály , Szép László , Taraza Busra , Terpai Tamás , Tolvaj Nándor , Vaik István , Végh László , Zábrádi Gergely , Zám Katalin
Füzet:	1997/október, 409 - 410. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Tetraéderek, Hossz, kerület, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1996/december: Gy.3101

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a tetraéder éleinek felezőpontjait az ábrán látható módon $J$ , $K$ , $E$ , $O$ , $Z$ , $X$ -szel. A csúcsban szomszédos élek felezőpontjait összekötő szakaszok a tetraéder egy-egy háromszöglapjának középvonalai, ezért párhuzamosak a tetraéder egy-egy élével, hosszuk pedig a megfelelő él hosszának a fele. Így

\begin{matrix} \begin{matrix} Z X = E O = \frac{A B}{2}; Z E = O X = \frac{C D}{2}; \\ K Z = O J = \frac{A C}{2}; K X = E J = \frac{B C}{2}; \\ E K = X J = \frac{A D}{2} és Z J = K O = \frac{B D}{2} . \end{matrix} \end{matrix}

Ebből az is következik, hogy az

E O X Z

K Z J O

és

K E J X

négyszögek paralelogrammák, mert szemközti oldalaik párhuzamosak és egyenlő hosszúak.
Ismert, hogy egy paralelogramma átlóinak négyzetösszege megegyezik oldalainak négyzetösszegével. Ezért

\begin{matrix} \begin{matrix} E X^{2} + Z O^{2} & = E O^{2} + O X^{2} + Z X^{2} + Z E^{2} = \frac{1}{2} (A B^{2} + C D^{2}), & (1) \\ Z O^{2} + K J^{2} & = Z J^{2} + O J^{2} + K O^{2} + K Z^{2} = \frac{1}{2} (A C^{2} + B D^{2}), & (2) \\ E X^{2} + K J^{2} & = E J^{2} + X J^{2} + E K^{2} + K X^{2} = \frac{1}{2} (B C^{2} + A D^{2}) . & (3) \end{matrix} \end{matrix}

Az (1) egyenletből a (2)-t, illetve a (3)-at kivonva és felhasználva a tetraéder élhosszai közti egyenlőtlenségeket, kapjuk, hogy

\begin{matrix} \begin{matrix} E X^{2} - K J^{2} & = \frac{1}{2} [(A B^{2} + C D^{2}) - (A C^{2} + B D^{2})] = \frac{1}{2} [(A B^{2} - A C^{2}) + (C D^{2} - B D^{2})] > 0, \\ Z O^{2} - K J^{2} & = \frac{1}{2} [(A B^{2} + C D^{2}) - (B C^{2} + A D^{2})] = \frac{1}{2} [(A B^{2} - B C^{2}) + (C D^{2} - A D^{2})] > 0. \end{matrix} \end{matrix}

Tehát

E X > K J

és

Z O > K J

.
Vagyis a szemközti élpárok felezőpontjait összekötő szakaszok közül az

A B

és

C D

‐ a leghosszabb élek ‐ felezőpontjait összekötő szakasz a legrövidebb.

Zám Katalin (Eger, Szilágyi E. Gimn., I. o.t.) dolgozata alapján

Megjegyzés. Az (1)‐(3) egyenletrendszerből könnyen kifejezhetjük a szemközti élpárok felezőpontjait összekötő szakaszok hosszát a tetraéder éleivel. Például:

\begin{matrix} K J^{2} = \frac{1}{4} (A C^{2} + B C^{2} + A D^{2} + B D^{2} - A B^{2} - C D^{2}) . \end{matrix}