|
Feladat: |
Gy.3101 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Balogh Attila , Besenyei Ádám , Bodor Adrienn , Bokros Krisztián , Csurdi Abigél , Davidovics Gábor , Devecsery András , Gueth Krisztián , Gyenes Zoltán , Hangya Balázs , Horváth László , Huszár Péter , Keszegh Balázs , Klausz Ferenc , Kleinheincz Zoltán , Lengyel Tímea , Lódi Edit , Máthé András , Micskei Zoltán , Moór Csaba , Nagy Máté , Naszódi Gergely , Révai Balázs , Schmeiszer Kornél , Schmeiszer Krisztián , Szalontay Mihály , Szép László , Taraza Busra , Terpai Tamás , Tolvaj Nándor , Vaik István , Végh László , Zábrádi Gergely , Zám Katalin |
Füzet: |
1997/október,
409 - 410. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Tetraéderek, Hossz, kerület, Gyakorlat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1996/december: Gy.3101 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Jelöljük a tetraéder éleinek felezőpontjait az ábrán látható módon , , , , , -szel. A csúcsban szomszédos élek felezőpontjait összekötő szakaszok a tetraéder egy-egy háromszöglapjának középvonalai, ezért párhuzamosak a tetraéder egy-egy élével, hosszuk pedig a megfelelő él hosszának a fele. Így | |
Ebből az is következik, hogy az , és négyszögek paralelogrammák, mert szemközti oldalaik párhuzamosak és egyenlő hosszúak. Ismert, hogy egy paralelogramma átlóinak négyzetösszege megegyezik oldalainak négyzetösszegével. Ezért | | Az (1) egyenletből a (2)-t, illetve a (3)-at kivonva és felhasználva a tetraéder élhosszai közti egyenlőtlenségeket, kapjuk, hogy | | Tehát és . Vagyis a szemközti élpárok felezőpontjait összekötő szakaszok közül az és ‐ a leghosszabb élek ‐ felezőpontjait összekötő szakasz a legrövidebb.
Zám Katalin (Eger, Szilágyi E. Gimn., I. o.t.) dolgozata alapján |
Megjegyzés. Az (1)‐(3) egyenletrendszerből könnyen kifejezhetjük a szemközti élpárok felezőpontjait összekötő szakaszok hosszát a tetraéder éleivel. Például: | |
|
|