Feladat: Gy.3100 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Barát Anna ,  Bérczi Gergely ,  Davidovics Gábor ,  Dedinszky Zsófia ,  Gueth Krisztián ,  Gyenes Zoltán ,  Györkei Györgyi ,  Hajdufi Péter ,  Hangya Balázs ,  Hesz Gábor ,  Kósa Botond ,  Lázár Zsófia ,  Lippner Gábor ,  Nyul Gábor ,  Papp Dávid ,  Pogány Ádám ,  Prokai Anett ,  Schmidt Ákos ,  Schmidt András ,  Serény András ,  Szalai-Dobos András ,  Terék Zsolt ,  Terpai Tamás ,  Tóth Ádám ,  Várady Gergő ,  Végh László ,  Velcsov Gabriella ,  Zábrádi Gergely ,  Zám Katalin ,  Zawadowski Ádám 
Füzet: 1997/október, 408 - 409. oldal  PDF file
Témakör(ök): Téglalapok, Terület, felszín, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1996/december: Gy.3100

A négyzetrácsos papíron kijelöltünk egy 72 négyzetből álló téglalapot. Ezután a rácsegyenesek mentén egy olyan zárt töröttvonalat rajzoltunk, amely minden, a téglalap belsejében vagy határán lévő rácsponton pontosan egyszer halad át és nem lép ki a téglalapból. Mekkora lehet a töröttvonal által határolt sokszög területe? (H)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Felhasználjuk Pick tételét, amely szerint ha egy rácssokszög határán h, belsejében pedig b rácspont van, akkor a területe T=b+h2-1. (Ennek bizonyítása megtalálható pl. Reiman István: Fejezetek az elemi geometriából című tankönyvében.)
A feladatban szereplő sokszögek esetén b=0, mert a sokszöget határoló töröttvonal minden szereplő rácsponton pontosan egyszer áthalad, tehát a sokszög belsejében nincs rácspont. Ha a téglalap oldalai a és c, akkor a belsejében és a határán összesen
(a+1)(c+1) rácspont van, a töröttvonal ezek mindegyikén átmegy, tehát h=(a+1)(c+1). Így a sokszög területe T=(a+1)(c+1)2-1. Ennek egész számnak kell lennie, mert a töröttvonal rácsegyenesek mentén halad, ezért bármely kis négyzet vagy teljesen benne van a sokszögben, vagy egyáltalán nincs. Ezért a és c közül legalább az egyik páratlan. Mivel ac=72, így három lehetséges téglalapméret jöhet szóba: 1×72, 3×24 és 9×8. Egy páratlanszor páros oldalú téglalapba a ábrán látható módon mindig írható a feltételeknek eleget tevő sokszög, ezért a három eset mindegyike előfordulhat.

 
 

A töröttvonal által határolt sokszög területe tehát vagy 2732-1=72, vagy
4252-1=49, vagy pedig 1092-1=44.
 Lippner Gábor (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., III. o.t.) dolgozata alapján