Feladat: 2979. fizika feladat Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Major Zsuzsanna 
Füzet: 1997/január, 59. oldal  PDF file
Témakör(ök): Prizma, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1996/április: 2979. fizika feladat

Egy 8 cm oldalú, szabályos háromszög alapú, 1,5 törésmutatójú üvegből készült fénytani prizma közelében az A, B és C pontokba gombostűket szúrunk az L-nél levő törőéllel párhuzamosanan úgy, hogy a három gombostű a prizmán keresztül nézve egy egyenes mentén látszódjék. A B pont a KL felezőpontján, az A és a C a KM-re állított merőlegeseken, KM-től azonos távolságban helyezkednek el. Ha az AK távolságot 2 mm-rel megnöveljük, hogyan kell megváltoztatnunk a CM távolságot, hogy a három gombostű a prizmán át nézve újra fedésbe kerüljön?
 

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az A, B és C gombostűk a prizmán keresztül akkor látszódnak egy vonalban, ha egy fénysugár a prizmában megtörve az A, B, D, C pontokat érintve jut a szemünkbe (lásd az ábrát). Kezdetben AK=CM, vagyis szimmetrikus a sugármenet (BDKM). Ekkor az ábrán jelölt beesési és törési szögekre β1=β2=30 és sinα1,2=nsinβ1,2 alapján
α1=α2=48,6
Az ABK háromszögben BK=4 cm, így a szinusztétel alapján
AKsin(90-α1)=BKsin(60+α1),ahonnanAK=2,79cm.

Ha az AK távolságot megnöveljük (tehát az A gombostűt A'-be helyezzük át), de a B pontot helyben hagyjuk, a C gombostűt C'-be kell áthelyeznünk ahhoz, hogy a gombostűk újra fedésbe kerüljenek. Ekkor a fénysugár az A', B, D', C' útvonalon jut a szemünkbe. A'K=AK+2mm=2,99 cm, és az A'BK háromszögben a szinusztétel alapján
A'Ksin(90-α1')=BKsin(60+α1'),ahonnanα1'=43,3
A prizma egyenletei szerint:
sinα1'=nsinβ1',β1'+β2'=60,nsinβ2'=sinα2',ahonnanβ1'=27,2;β2'=32,7;α2'=54,3.
A BDD' háromszögben a BD=KM2=4 cm, így a szinusztétel szerint:
BDsin(90-β2')=DD'sin(β1-β1'),innenDD'=0,23cm.
Végül a C'D'M háromszögben D'M=DM-DD'=4cm-0,23cm=3,77cm, és a szinusztétel alapján:
C'Msin(90-α2')=D'Msin(60+α2'),ahonnanC'M=2,41cm.
Tehát a CM távolságot CC'=CM-C'M=AK-C'M=2,79cm-2,41cm3,8mm-rel kell csökkenteni ahhoz, hogy az A', B, C' gombostűk ismét fedésbe kerüljenek.
 Major Zsuzsanna (Stuttgart, Friedrich-Eugens-Gymnasium, IV. o.t.) dolgozata alapján