Feladat: 2691. fizika feladat Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Borgulya Gábor ,  Szép János 
Füzet: 1993/március, 140 - 141. oldal  PDF file
Témakör(ök): Gyűjtőlencse, Egyenletes mozgás (Egyenes vonalú mozgások), Egyéb egyenesvonalú mozgás, Elemi függvények differenciálhányadosai, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1992/november: 2691. fizika feladat

Az f=0,2 m fókusztávolságú lencse felé mozog egy tárgy az optikai tengelyen 3 m/s sebességgel. A tárgyhoz képest mekkora sebességgel mozog a kép akkor, amikor a tárgy 0,5 méterre van a lencsétől?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a tárgytávolságot x-szel, a képtávolságot y-nal, az időt pedig t-vel! A leképezési törvény szerint

1x+1y=1f,
ahonnan
y(x)=xfx-f.

Ha a tárgy vt sebességgel közeledik a lencséhez, akkor egy kicsiny Δt idő alatt
Δx=-vtΔt
távolságra mozdul el. A kép elmozdulása ezalatt
Δy=y(x+Δx)-y(x)y'(x)Δx,
a kép sebessége pedig
vk=ΔyΔt=-vty'(x).

Az y(x) függvény deriváltját a deriválási szabályokat alkalmazva, vagy közvetlenül, a legelső egyenlet és
1x+Δx+1y+Δy=1f
megfelelő oldalainak különbségét képezve kaphatjuk meg:
y'(x)=-f2(x-f)2,
ahonnan
vk=vtf2(x-f)2,
a kép és a tárgy relatív sebessége pedig
vrel=vk-vt=vt(f2(x-f)2-1)=-53ms.

Borgulya Gábor (Pécs, Nagy L. Gimn., IV. o. t.) dolgozata alapján

 

Megjegyzések 1. A kapott összefüggés tovább is alakítható:
vrel=vtx(2f-x)(x-f)2,

 
 


ahonnan leolvasható, hogy amíg a tárgy a kétszeres fókusztávolságon kívül van, addig a kép közeledik a tárgyhoz, amikor x=2f, akkor a tárgy és a kép sebessége megegyezik, ha pedig f<x<2f, akkor vrel>0, tehát a kép és a tárgy távolodik egymástól.
 

 Szép János (Szolnok, Verseghy F. Gimn., III. o. t.)
 

2. A tárgy és a kép relatív sebességét az x tárgytávolság függvényében ábrázolva az ábrán látható összefüggést kapjuk.