Kezdőlap


Feladat:	2691. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Borgulya Gábor , Szép János
Füzet:	1993/március, 140 - 141. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Gyűjtőlencse, Egyenletes mozgás (Egyenes vonalú mozgások), Egyéb egyenesvonalú mozgás, Elemi függvények differenciálhányadosai, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1992/november: 2691. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a tárgytávolságot $x$ -szel, a képtávolságot $y$ -nal, az időt pedig $t$ -vel! A leképezési törvény szerint

\begin{matrix} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{f}, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} y (x) = \frac{x f}{x - f} . \end{matrix}

Ha a tárgy

v_{t}

sebességgel közeledik a lencséhez, akkor egy kicsiny

Δ t

idő alatt

\begin{matrix} Δ x = - v_{t} \cdot Δ t \end{matrix}

távolságra mozdul el. A kép elmozdulása ezalatt

\begin{matrix} Δ y = y (x + Δ x) - y (x) \approx y' (x) \cdot Δ x, \end{matrix}

a kép sebessége pedig

\begin{matrix} v_{k} = \frac{Δ y}{Δ t} = - v_{t} \cdot y' (x) . \end{matrix}

y (x)

függvény deriváltját a deriválási szabályokat alkalmazva, vagy közvetlenül, a legelső egyenlet és

\begin{matrix} \frac{1}{x + Δ x} + \frac{1}{y + Δ y} = \frac{1}{f} \end{matrix}

megfelelő oldalainak különbségét képezve kaphatjuk meg:

\begin{matrix} y' (x) = - \frac{f^{2}}{{(x - f)}^{2}}, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} v_{k} = v_{t} \cdot \frac{f^{2}}{{(x - f)}^{2}}, \end{matrix}

a kép és a tárgy relatív sebessége pedig

\begin{matrix} v_{rel} = v_{k} - v_{t} = v_{t} (\frac{f^{2}}{{(x - f)}^{2}} - 1) = - \frac{5}{3} \frac{m}{s} . \end{matrix}

Borgulya Gábor (Pécs, Nagy L. Gimn., IV. o. t.) dolgozata alapján

Megjegyzések 1. A kapott összefüggés tovább is alakítható:

\begin{matrix} v_{rel} = v_{t} \frac{x (2 f - x)}{{(x - f)}^{2}}, \end{matrix}

ahonnan leolvasható, hogy amíg a tárgy a kétszeres fókusztávolságon kívül van, addig a kép közeledik a tárgyhoz, amikor

x = 2 f

, akkor a tárgy és a kép sebessége megegyezik, ha pedig

f < x < 2 f

, akkor

v_{rel} > 0

, tehát a kép és a tárgy távolodik egymástól.

Szép János (Szolnok, Verseghy F. Gimn., III. o. t.)

2. A tárgy és a kép relatív sebességét az

x

tárgytávolság függvényében ábrázolva az ábrán látható összefüggést kapjuk.