Kezdőlap


Feladat:	2673. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1993/március, 132 - 133. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Newton-féle gravitációs erő, Kepler II. törvénye, Impulzusmegmaradás törvénye, Munkatétel, energiamegmaradás pontrendszerekre, Tökéletesen rugalmatlan ütközések, Helyzeti energia inhomogén gravitációs mezőben, Mesterséges holdak, Meteorok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1992/szeptember: 2673. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen $m_{1}, v_{1}$ , illetve $m_{2}, v_{2}$ a meteorit, ill. az űrállomás tömege és sebessége az ütközés előtt $(m_{2} = 10 m_{1})$ . Jelöljük $v$ -vel a közös sebességet közvetlenül az ütközés után (az $A$ pontban), $w$ -vel a bolygóhoz legközelebbi $B$ pontbeli sebességet, $v_{t}$ pedig legyen $v$ -nek a sugárra merőleges összetevője.

Az űrállomás az ütközés előtt

R

sugarú körpályán keringett az

M

tömegű bolygó körül, a sebessége tehát

\begin{matrix} v_{2} = \sqrt[]{γ \frac{M}{R}} \end{matrix}

volt. Az ütközésnél érvényes a lendületmegmaradás törvénye:

\begin{matrix} (m_{1} + m_{2}) v = 11 m_{1} v = \sqrt[]{m_{1}^{2} v_{1}^{2} + m_{2}^{2} v_{2}^{2}} = m_{1} \sqrt[]{v_{1}^{2} + 100 γ \frac{M}{R}}, \end{matrix}

és

\begin{matrix} (m_{1} + m_{2}) v_{t} = 11 v_{t} = m_{2} v_{2} = 10 m_{1} v_{2} \end{matrix}

A második egyenlőség az impulzus (lendület) érintő irányú össztevőjének megmaradását fejezi ki, és a

\begin{matrix} v_{t} = \frac{10}{11} v_{2} = \frac{10}{11} \sqrt[]{γ \frac{M}{R}} \end{matrix}

eredményt adja. Kepler 2. törvénye szerint

\begin{matrix} v_{t} \cdot R = w \cdot \frac{R}{2}, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} w = 2 v_{t} = \frac{20}{11} \sqrt[]{γ \frac{M}{R}} . \end{matrix}

Végül az energiamegmaradás törvényét alkalmazva

\begin{matrix} \frac{(m_{1} + m_{2}) v^{2}}{2} - γ \frac{(m_{1} + m_{2}) M}{R} = \frac{(m_{1} + m_{2}) w^{2}}{2} - γ \frac{(m_{1} + m_{2}) M}{R / 2}, \end{matrix}

ebből

\begin{matrix} v^{2} = w^{2} - 2 \frac{γ M}{R} = \frac{158}{121} \frac{γ M}{R} . \end{matrix}

Az impulzusmegmaradást kifejező egyenlőségből

\begin{matrix} v_{1} = \sqrt[]{121 v^{2} - 100 \frac{γ M}{R}} = \sqrt[]{58 \frac{γ M}{R}} . \end{matrix}