Feladat: 2673. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1993/március, 132 - 133. oldal  PDF file
Témakör(ök): Newton-féle gravitációs erő, Kepler II. törvénye, Impulzusmegmaradás törvénye, Munkatétel, energiamegmaradás pontrendszerekre, Tökéletesen rugalmatlan ütközések, Helyzeti energia inhomogén gravitációs mezőben, Mesterséges holdak, Meteorok, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1992/szeptember: 2673. fizika feladat

Az M tömegű bolygó felé repülő meteorit összeütközik a bolygó körül R sugarú körpályán keringő űrállomással. Az ütközés előtt a meteorit sebessége a bolygó középpontja felé irányult. Az ütközés után a meteorit az űrállomás ,,foglya'' marad, és az állomással együtt egy új, ellipszis alakú pályára tér. A pályának a bolygó középpontjától mért legkisebb távolsága R/2. Mekkora volt a meteorit sebessége az ütközés előtt, ha az űrállomás tömege 10-szer nagyobb a meteorit tömegénél?
 
 

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen m1,v1, illetve m2,v2 a meteorit, ill. az űrállomás tömege és sebessége az ütközés előtt (m2=10m1). Jelöljük v-vel a közös sebességet közvetlenül az ütközés után (az A pontban), w-vel a bolygóhoz legközelebbi B pontbeli sebességet, vt pedig legyen v-nek a sugárra merőleges összetevője.

 
 

Az űrállomás az ütközés előtt R sugarú körpályán keringett az M tömegű bolygó körül, a sebessége tehát
v2=γMR
volt. Az ütközésnél érvényes a lendületmegmaradás törvénye:
(m1+m2)v=11m1v=m12v12+m22v22=m1v12+100γMR,
és
(m1+m2)vt=11vt=m2v2=10m1v2

A második egyenlőség az impulzus (lendület) érintő irányú össztevőjének megmaradását fejezi ki, és a
vt=1011v2=1011γMR
eredményt adja. Kepler 2. törvénye szerint
vtR=wR2,
amiből
w=2vt=2011γMR.
Végül az energiamegmaradás törvényét alkalmazva
(m1+m2)v22-γ(m1+m2)MR=(m1+m2)w22-γ(m1+m2)MR/2,
ebből
v2=w2-2γMR=158121γMR.
Az impulzusmegmaradást kifejező egyenlőségből
v1=121v2-100γMR=58γMR.