Feladat: 2652. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Borgulya Gábor ,  Dolowschiák Márk ,  Farkas Zénó ,  Kaszás Katalin ,  Pajor Tibor ,  Sinai Sándor ,  Tóth Zoltán ,  Veres Gábor 
Füzet: 1992/december, 474 - 475. oldal  PDF file
Témakör(ök): A perdületmegmaradás törvénye, Forgási energia, Tehetetlenségi nyomaték, Egyéb merev test síkmozgások, Egyéb csatolt rezgések, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1992/április: 2652. fizika feladat

Egy mechanikus szerkezetű zsebóra súlytalanul lebeg a Föld körül keringő űrállomáson. Vajon eltér-e a zsebóra által mutatott idő az űrhajós karórája által mutatott értéktől? Ha igen, késik vagy siet a zsebóra? Adjunk becslést az eltérés nagyságrendjére! (Lásd Selényi Pál cikkét lapunk 177. oldalán.)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A mechanikus órákban a hajszál-spirálrugó egyik végét az óratesthez, a másik végét az ingakerékhez rögzítik. Az ingakerék harmonikus torzíós rezgőmozgást végez, ennek a mozgásnak a frekvenciája szabályozza az óra járását.
Amikor az óratest rögzített, a rezgés periódusideje:

T1=2πΘ1/D*,
ahol D* a csavarrugó direkciós nyomatéka, Θ1 pedig az ingakerék tehetetlenségi nyomatéka. Ha viszont az óratest lebeg, a hajszálrugó által az óratestre kifejtett forgatónyomaték hatására az óratest is ugyanakkora rezgésidejű torziós lengéseket végez, mint az ingakerék.
 
 
Legyen az ingakerék maximális szögkitérése és szögsebessége az űrhajóhoz viszonyítva α1, illetve ω1, az óratesté pedig α2, illetve ω2. Ha az óratest lehetetlenségi nyomatéka Θ2, a perdületmaradás tétele szerint
Θ1ω1+Θ2ω2=0,
azaz
ω1=-ω2Θ2/Θ1.(1)

Ha a torziós rezgés "szögsebessége'' w* (ne tévesszük össze ezt az elfordulások szögsebességével!), akkor az óratest maximális szöggyorsulása
β2max=-α2(ω*)2,
a maximális forgatónyomaték pedig
-D*(α1+α2)=Θ2β2max=-α2Θ2(ω*)2,(2)
ahonnan
a1+a2=a2Θ2(ω*)2D*.
Az energiamegmaradás tétele szerint
12Θ1ω12+12Θ2ω22=12D*(a1+a2)2,(3)
ahonnan (1) és (2) felhasználásával
ω*=D*Θ1Θ1+Θ2Θ2
adódik. Az új lengésidő
T2=2πω*=2πΘ1D*Θ2Θ1+Θ2,
ez kisebb, mint a rögzített zsebóra T1 periódusideje, ami ‐ pontos órákat feltételezve ‐ megegyezik a karóra periódusidejével. A lebegő zsebóra tehát siet a karórához képest.
A két óra által mutatott idő relatív eltérése:
T1-T2T1=1-Θ2Θ1+Θ2Θ12Θ2.
(Az utolsó lépésnél kihasználtuk, hogy Θ1Θ2 és (1+ε)n1+nε, ha ε1.)
Mivel azonos "tömörségű'' és azonos anyagú testeknél Θmr2r5, ahol r a test mérete, a zsebóránál kb. 10-szer kisebb méretű ingakerékkel számolva az órák járási ütemének relatív eltérését kb. 10-5 nagyságrendűnek becsülhetjük. Ez annyit jelent, hogy egy lebegő zsebóra egy év alatt kb. 5 percet sietne a karórához képest.
 

Farkas Zénó (Győr, Révai M. Gimn., III. o. t.)