Kezdőlap


Feladat:	2652. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Borgulya Gábor , Dolowschiák Márk , Farkas Zénó , Kaszás Katalin , Pajor Tibor , Sinai Sándor , Tóth Zoltán , Veres Gábor
Füzet:	1992/december, 474 - 475. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	A perdületmegmaradás törvénye, Forgási energia, Tehetetlenségi nyomaték, Egyéb merev test síkmozgások, Egyéb csatolt rezgések, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1992/április: 2652. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A mechanikus órákban a hajszál-spirálrugó egyik végét az óratesthez, a másik végét az ingakerékhez rögzítik. Az ingakerék harmonikus torzíós rezgőmozgást végez, ennek a mozgásnak a frekvenciája szabályozza az óra járását.
Amikor az óratest rögzített, a rezgés periódusideje:

\begin{matrix} T_{1} = 2 π \sqrt[]{Θ_{1} / D^{*}}, \end{matrix}

ahol

D^{*}

a csavarrugó direkciós nyomatéka,

Θ_{1}

pedig az ingakerék tehetetlenségi nyomatéka. Ha viszont az óratest lebeg, a hajszálrugó által az óratestre kifejtett forgatónyomaték hatására az óratest is ugyanakkora rezgésidejű torziós lengéseket végez, mint az ingakerék.

Legyen az ingakerék maximális szögkitérése és szögsebessége az űrhajóhoz viszonyítva

α_{1}

, illetve

ω_{1}

, az óratesté pedig

α_{2}

, illetve

ω_{2}

. Ha az óratest lehetetlenségi nyomatéka

Θ_{2}

, a perdületmaradás tétele szerint

\begin{matrix} Θ_{1} ω_{1} + Θ_{2} ω_{2} = 0, \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} ω_{1} = - ω_{2} \cdot Θ_{2} / Θ_{1} . \end{matrix}

(1)

Ha a torziós rezgés "szögsebessége''

w^{*}

(ne tévesszük össze ezt az elfordulások szögsebességével!), akkor az óratest maximális szöggyorsulása

\begin{matrix} β_{2}^{max} = - α_{2} \cdot {(ω^{*})}^{2}, \end{matrix}

a maximális forgatónyomaték pedig

\begin{matrix} - D^{*} (α_{1} + α_{2}) = Θ_{2} \cdot β_{2}^{max} = - α_{2} \cdot Θ_{2} \cdot {(ω^{*})}^{2}, \end{matrix}

(2)

ahonnan

\begin{matrix} a_{1} + a_{2} = a_{2} \cdot \frac{Θ_{2} {(ω^{*})}^{2}}{D^{*}} . \end{matrix}

Az energiamegmaradás tétele szerint

\begin{matrix} \frac{1}{2} Θ_{1} ω_{1}^{2} + \frac{1}{2} Θ_{2} ω_{2}^{2} = \frac{1}{2} D^{*} {(a_{1} + a_{2})}^{2}, \end{matrix}

(3)

ahonnan (1) és (2) felhasználásával

\begin{matrix} ω^{*} = \sqrt[]{\frac{D^{*}}{Θ_{1}}} \cdot \sqrt[]{\frac{Θ_{1} + Θ_{2}}{Θ_{2}}} \end{matrix}

adódik. Az új lengésidő

\begin{matrix} T_{2} = \frac{2 π}{ω^{*}} = 2 π \sqrt[]{\frac{Θ_{1}}{D^{*}}} \sqrt[]{\frac{Θ_{2}}{Θ_{1} + Θ_{2}}}, \end{matrix}

ez kisebb, mint a rögzített zsebóra

T_{1}

periódusideje, ami ‐ pontos órákat feltételezve ‐ megegyezik a karóra periódusidejével. A lebegő zsebóra tehát siet a karórához képest.
A két óra által mutatott idő relatív eltérése:

\begin{matrix} \frac{T_{1} - T_{2}}{T_{1}} = 1 - \sqrt[]{\frac{Θ_{2}}{Θ_{1} + Θ_{2}}} \approx \frac{Θ_{1}}{2 Θ_{2}} . \end{matrix}

(Az utolsó lépésnél kihasználtuk, hogy

Θ_{1} ≪ Θ_{2}

és

{(1 + ε)}^{n} \approx 1 + n ε

, ha

ε ≪ 1

.)
Mivel azonos "tömörségű'' és azonos anyagú testeknél

Θ \sim m \cdot r^{2} \sim r^{5}

, ahol

r

a test mérete, a zsebóránál kb. 10-szer kisebb méretű ingakerékkel számolva az órák járási ütemének relatív eltérését kb.

10^{- 5}

nagyságrendűnek becsülhetjük. Ez annyit jelent, hogy egy lebegő zsebóra egy év alatt kb. 5 percet sietne a karórához képest.

Farkas Zénó (Győr, Révai M. Gimn., III. o. t.)