Feladat: 2487. fizika feladat Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Patkó Eszter ,  Ujváry-Menyhárt Zoltán 
Füzet: 1991/március, 136 - 137. oldal  PDF file
Témakör(ök): Egyenletesen változó mozgás (Tömegpont mozgásegyenelete), Csúszó súrlódás, Nyomóerő, kötélerő, Geometriai szerkesztések alkalmazása, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1990/május: 2487. fizika feladat

Vízszintes talajon 3 kg tömegű testet húzunk 10 N nagyságú állandó erővel. A test és a talaj között a súrlódási együttható 0,2. Milyen irányú erővel kell húzni a testet, hogy a gyorsulása a lehető legnagyobb legyen? (A feladat elemi úton, differenciálszámítás nélkül is megoldható.)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Írjuk fel a testre ható erőket (1. ábra).

 
 

1. ábra
 

Függőleges irányban hat az mg súlyerő, az N nyomóerő és az F húzóerő függőleges komponense, vízszintes irányban az S súrlódási erő és a húzóerő vízszintes komponense. Függőleges irányban a test nem gyorsul, így:
N+Fsinα=mg.
Innen
N=mg-Fsinα.

Vízszintes irányban mozogjon a gyorsulással a test. Biztosan elindul, mert vízszintes húzóerőnél
Smax=μN=μmg=6N  
a tapadási súrlódás maximális értéke, a húzóerő pedig ekkor 10N.
A mozgásegyenlet vízszintes irányban:
ma=Fcosα-S=Fcosα-μN=Fcosα-μmg+μFsinα,
innen
a=Fm(cosα+μsinα)-μg.

A gyorsulás akkor maximális, ha a következő kifejezés maximális:
f(α)=cosα+μsinα.(1)
Vezessük be a μ=tgφ összefüggéssel a φ határszöget. Ennek megfelelően
f(α)=cosα+tgφsinα=  1cosφ(cosαcosφ+  sinαsinφ)=  1cosφcos(α-φ).  
A cos függvény a 2kπ helyeken maximális, ebből a számunkra értelmes megoldás:
α-φ=0,α=φ=arctgμ=11,31.



Tehát a gyorsulás α=11,31 mellett maximális.
 

II. megoldás. Vegyük fel a vektorábrát a 2. ábrán látható módon.
 
 

2. ábra
 

Először rajzoljuk be a súlyerőt, majd ennek végpontjába az adott nagyságú F húzóerőt, melynek végpontja egy kör mentén mozoghat. Ezután rajzoljuk be az asztal és a test közötti kölcsönhatási erőt, K-t. Ennek vízszintes komponense μN nagyságú súrlódási erő, függőleges komponense az N nyomóerő. K-nak a függőlegessel bezárt φ szögére:
tgφ=μ.  

Az ábráról leolvasható, hogy ma akkor maximális, ha K éppen érinti a kört. Ekkor α és φ merőleges szárú szögek lesznek, tehát α=φ=arctg μ=11,31.
 

Patkó Eszter dolgozata alapján
 

III. megoldás. Az (1) egyenlet felírásáig ez a megoldás megegyezik az I.-vel. Ezután ábrázoljuk a koordinátarendszerben azokat a pontokat, amelyekre x=cosα és y=μsinα. Ezek egy ellipszis pontjai, mivel x2+(y/μ)2=1. x+y ott a legnagyobb, ahol az érintő az x tengellyel 135-os szöget zár be, vagyis iránytangense -1. Az ellipszist az y tengely mentén 1/μ arányban lapítva egy kört kapunk, melynek sugara egységnyi. A transzformáció után a keresett pontban az érintő iránytangense -1/μ, az érintési pontba húzott sugár iránytangense pedig μ lesz. Az érintési pontnak megfelelő α szögre:
μ=y'x'=sinαcosα=tgα,α=arctgμ=11,31.



Ujváry-Menyhárt Zoltán (Bp., Fazekas M. Gimn., II. o. t.)
dolgozata alapján