Feladat: 2120. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Czigány Zsolt ,  Horváth András ,  Kintli Lajos ,  Tasnádi Tamás ,  Tóth Tamás 
Füzet: 1987/február, 92 - 94. oldal  PDF file
Témakör(ök): Felületi feszültségből származó erő, Közelítő számítások, numerikus módszerek, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1986/március: 2120. fizika feladat

Nagy kiterjedésű edényben hosszú, egyenes, hengeres alumíniumhuzalt helyezünk a víz felszínére úgy, hogy nem süllyed el.
a) Mekkora lehet a huzal maximális átmérője?
b) Milyen mélyen van e maximális átmérőjű huzal legalsó alkotója a sík vízfelszín alatt?  
A kapillaritás elméletéből ismerjük azt, hogy ha egy végtelen hosszú henger van a folyadék felszínén, akkor az ábra szerinti h besüllyedés értéke
h=2αρgsinϑ2,
ahol α a folyadék felületi feszültsége, ρ a sűrűsége, ϑ pedig az ábrán berajzolt szög.
 
 


A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A vízfelszínre helyezett alumíniumhuzalra a saját súlyán kívül hat a vízbe merült térfogattal arányos felhajtóerő, a felületi feszültségből és a h besüllyedéssel arányos hidrosztatikai nyomásból származó erő; ezen erők egyensúlya alapján határozhatjuk meg a maximális huzalátmérőt. Mindegyik erő arányos a drót hosszával, így elegendő az egységnyi hosszra ható erőket kiszámítani.
Az egységnyi hosszúságú, r sugarú Al huzal súlya ϱAIgr2π. A vízbe merült térfogatrész egy 2ϑ központi szöggel jellemezhető körszelet, így a felfelé mutató felhajtóerő: ϱgr2(ϑ-sinϑcosϑ), ahol ϱ a víz sűrűsége.
A h besüllyedésből adódó hidrosztatikai nyomás ϱgh, mely 2rsinϑ-val arányos keresztmetszetre 2ϱghrsinϑ nagyságú, a huzal súlyával ellentétes irányú erőt fejt ki.
A vízzel kétoldalt érintkező Al drótra a felületi feszültségből származó erő 2α egységnyi hosszra vonatkoztatva. Az erők vektora az érintkezési vonalon a vízfelszín síkjában fekszik, így a vízszintes komponensek kétoldalt kiegyenlítik egymást, míg a függőleges komponensek eredője egy függőleges, felfelé mutató 2αsinϑ járulékot ad az előbbi erőkhöz.
A fentiek alapján felírható az egyensúly feltétele:

ϱAIgπr2=ϱgr2(ϑ-sinϑcosϑ)+2ϱghrsinϑ+2αsinϑ.(1)
A feladatban megadott h kifejezést (1)-be írva a keresett egyensúlyi sugárra az alábbi másodfokú egyenletet kapjuk:

(ϱg(ϑ-sinϑcosϑ)-πϱAIg)r2++(4αϱgsinϑ2sinϑ)r+2αsinϑ=0.



Osszuk el ezt az egyenletet ϱg-vel és alkalmazzuk az a=αϱg jelölést, ekkor
(ϑ-sinϑcosϑ-πϱAIϱ)r2+(4sinϑ/2sinϑ)ra+2a2sinϑ=0
adódik. Ebben az egyenletben adatként a dimenziótlan ϱAI/ϱ=2,7 mellett a hosszúság dimenziójú a szerepel, amelynek számértéke a függvénytáblázatban megtalálható adatokkal
a=0,0729N/m29,81m/s21000kg/m2=2,73mm.
Célszerű az r sugarat is ,,a-egységekben'' mérni, azaz r=xa a alakban keresni. Ezzel a dimenziótlan x mennyiségre a
(ϑ-sinϑcosϑ-2,7π)x2+(4sinϑ2sinϑ)x+2sinϑ=0(2)
másodfokú egyenlet adódik.
Az egyenlet együtthatói a ϑ paramétertől függenek, amely 0-tól π-ig változhat. A megoldóképlettel kifejezhetjük r-t a ϑ függvényében, és megkeresve a függvény maximumát, nyerjük a keresett maximális huzalátmérőt. Az itt vázolt módszer a differenciálszámítás elemeit felhasználva egy rendkívül bonyolult, csak numerikusan megoldható egyenletre vezet ϑ-ban. Ennél egyszerűbb, ha közvetlenül a (2) egyenletet használjuk a numerikus számoláshoz. Elegendően sűrűn (pl. 10-onként) kiszámítjuk az adott ϑ szöghöz tartozó másodfokú egyenlet együtthatóit, majd ezekből az x gyököt. (A két gyök közül a pozitívat tartjuk meg.) Az r sugarat a ϑ függvényében ábrázolva kiválaszthatjuk a maximális r értéket. Szerencsére most már könnyen hozzájuthatunk kisebb személyi számítógépekhez, és így gyorsan és elegendő pontossággal végrehajthatjuk a numerikus számításokat. Egy lehetséges BASIC nyelvű programrészlet:
 


100 INPUT ,,SŰRŰSÉG''; RO
110 PRINT ,,KEZDŐ ÉS VÉGSZÖG''
120 INPUT ,,TK, TV:''; TK, TV
130 PRINT ,,A SZÖGTARTOMÁNY FELOSZTÁSÁNAK SZÁMA:''
140 INPUT ,,N:''; N
150 FOR I = 0 TO N
160 LET TT=TK+(TV‐TK)/N* I
170 LET TE=TT* PI/180
180 LET A=TE‐SIN(TE)* COS(TE)‐3, 14159* RO
190 LET B=4* SIN(TE/2)* SIN(TE):LET C=2* SIN(TE)
200 LET X=(‐B SQR(B* B‐4* A* C)/2/A
210 PRINT ,,SZÖG, SUGÁR=''; TT, X* 2.73
220 NEXT I
 
 
1. ábra
 

Az eredményt grafikonon ábrázoltuk (1. ábra). A bemenő adatok különböző értékei mellett egyre pontosabban adhatjuk meg a maximális r értéket. Két tizedesjegyre ϑ0=115-nál rmax=2,32 mm. A vízre helyezhető Al drót maximális átmérője 4,64 mm és ekkor h=4,59 mm a besüllyedés. A drót legalsó alkotója h+r(1+cos(180-ϑ0))=7,89 mm mélyen van a víz felszíne alatt (2. ábra).
 
 
2. ábra
 

A megoldás fizikai jelentése és az egyensúlyi viszonyok stabilitása jól szemléltethető egy olyan ábrával, amelyen egy adott sugarú henger és a víz teljes energiáját tüntetjük fel a henger helyzetének (bemerülési mélységének) függvényében. Ezt a grafikont úgy kaphatnánk meg, ha a hengerre ható teljes erőt ‐ vagyis az (1) egyenlet jobb és bal oldalának különbségét ‐ megszoroznánk a henger kicsiny elmozdulásaival, s az így számított munkavégzéseket valamely önkényesen választott nullponttól kiindulva összegeznénk, integrálnánk. Az eredmény a 3. ábrán látható görbesereg lenne.
 
 
3. ábra
 

Amennyiben r<rmax, úgy két olyan ϑ érték is található, amelynél erőegyensúly valósul meg (lásd 1. ábra), vagyis ahol az energia-függvénynek szélső értéke van. A kisebb bemerülés stabil ‐, a nagyobb instabil egyensúlynak felel meg. A henger sugarát növelve r=rmax-nál a két egyensúlyi helyzet ,,összecsúszik'', az energiafüggvénynek pedig inflexiós pontja alakul ki. Ekkor és ennél nagyobb sugarú hengereknél semmilyen helyzetben nem lehet egyensúly, sőt már rrmax esetén is ‐ az energiafüggvény nagyon ,,sekély'' lokális minimuma miatt ‐ nagyon nehezen állítható be az egyensúlyi helyzet.
 

Megjegyzés. Kísérletileg is meghatározhatjuk az rmax értéket amely több körülmény befolyásoló hatása miatt eltérhet a fenti elméleti rmax értéktől. A felületi feszültség nem tiszta víz esetén megváltozik, a drót véges hosszúságú, és nagyon óvatosan kell a vízre tenni a zavarok elkerülése miatt. Tóth Tamás elvégezte a kísérletet, és szerinte r>1,5 mm esetén elsüllyed a drót.
A megoldás során hallgatólagosan feltételeztük, hogy a víz egyáltalán nem nedvesíti az alumíniumot, vagyis hogy a víz és a fém ún. illeszkedési szöge 180. Ez szigorúan véve nem igaz, de a huzal felületének szennyeződése, ,,zsírossága'' miatt jó közelítésnek tekinthető.