A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A vízfelszínre helyezett alumíniumhuzalra a saját súlyán kívül hat a vízbe merült térfogattal arányos felhajtóerő, a felületi feszültségből és a besüllyedéssel arányos hidrosztatikai nyomásból származó erő; ezen erők egyensúlya alapján határozhatjuk meg a maximális huzalátmérőt. Mindegyik erő arányos a drót hosszával, így elegendő az egységnyi hosszra ható erőket kiszámítani. Az egységnyi hosszúságú, sugarú Al huzal súlya . A vízbe merült térfogatrész egy központi szöggel jellemezhető körszelet, így a felfelé mutató felhajtóerő: , ahol a víz sűrűsége. A besüllyedésből adódó hidrosztatikai nyomás , mely -val arányos keresztmetszetre nagyságú, a huzal súlyával ellentétes irányú erőt fejt ki. A vízzel kétoldalt érintkező Al drótra a felületi feszültségből származó erő egységnyi hosszra vonatkoztatva. Az erők vektora az érintkezési vonalon a vízfelszín síkjában fekszik, így a vízszintes komponensek kétoldalt kiegyenlítik egymást, míg a függőleges komponensek eredője egy függőleges, felfelé mutató járulékot ad az előbbi erőkhöz. A fentiek alapján felírható az egyensúly feltétele: | | (1) | A feladatban megadott kifejezést (1)-be írva a keresett egyensúlyi sugárra az alábbi másodfokú egyenletet kapjuk:
Osszuk el ezt az egyenletet -vel és alkalmazzuk az jelölést, ekkor | | adódik. Ebben az egyenletben adatként a dimenziótlan mellett a hosszúság dimenziójú szerepel, amelynek számértéke a függvénytáblázatban megtalálható adatokkal | | Célszerű az sugarat is ,,-egységekben'' mérni, azaz a alakban keresni. Ezzel a dimenziótlan mennyiségre a | | (2) | másodfokú egyenlet adódik. Az egyenlet együtthatói a paramétertől függenek, amely -tól -ig változhat. A megoldóképlettel kifejezhetjük -t a függvényében, és megkeresve a függvény maximumát, nyerjük a keresett maximális huzalátmérőt. Az itt vázolt módszer a differenciálszámítás elemeit felhasználva egy rendkívül bonyolult, csak numerikusan megoldható egyenletre vezet -ban. Ennél egyszerűbb, ha közvetlenül a (2) egyenletet használjuk a numerikus számoláshoz. Elegendően sűrűn (pl. -onként) kiszámítjuk az adott szöghöz tartozó másodfokú egyenlet együtthatóit, majd ezekből az gyököt. (A két gyök közül a pozitívat tartjuk meg.) Az sugarat a függvényében ábrázolva kiválaszthatjuk a maximális értéket. Szerencsére most már könnyen hozzájuthatunk kisebb személyi számítógépekhez, és így gyorsan és elegendő pontossággal végrehajthatjuk a numerikus számításokat. Egy lehetséges BASIC nyelvű programrészlet:
100 INPUT ,,SŰRŰSÉG''; RO 110 PRINT ,,KEZDŐ ÉS VÉGSZÖG'' 120 INPUT ,,TK, TV:''; TK, TV 130 PRINT ,,A SZÖGTARTOMÁNY FELOSZTÁSÁNAK SZÁMA:'' 140 INPUT ,,N:''; N 150 FOR I = 0 TO N 160 LET TT=TK+(TV‐TK)/N I 170 LET TE=TT PI/180 180 LET A=TE‐SIN(TE) COS(TE)‐3, 14159 RO 190 LET B=4 SIN(TE/2) SIN(TE):LET C=2 SIN(TE) 200 LET X=(‐B SQR(B B‐4 A C)/2/A 210 PRINT ,,SZÖG, SUGÁR=''; TT, X 2.73 220 NEXT I
1. ábra Az eredményt grafikonon ábrázoltuk (1. ábra). A bemenő adatok különböző értékei mellett egyre pontosabban adhatjuk meg a maximális értéket. Két tizedesjegyre -nál mm. A vízre helyezhető Al drót maximális átmérője mm és ekkor mm a besüllyedés. A drót legalsó alkotója mm mélyen van a víz felszíne alatt (2. ábra).
2. ábra A megoldás fizikai jelentése és az egyensúlyi viszonyok stabilitása jól szemléltethető egy olyan ábrával, amelyen egy adott sugarú henger és a víz teljes energiáját tüntetjük fel a henger helyzetének (bemerülési mélységének) függvényében. Ezt a grafikont úgy kaphatnánk meg, ha a hengerre ható teljes erőt ‐ vagyis az (1) egyenlet jobb és bal oldalának különbségét ‐ megszoroznánk a henger kicsiny elmozdulásaival, s az így számított munkavégzéseket valamely önkényesen választott nullponttól kiindulva összegeznénk, integrálnánk. Az eredmény a 3. ábrán látható görbesereg lenne.
3. ábra Amennyiben , úgy két olyan érték is található, amelynél erőegyensúly valósul meg (lásd 1. ábra), vagyis ahol az energia-függvénynek szélső értéke van. A kisebb bemerülés stabil ‐, a nagyobb instabil egyensúlynak felel meg. A henger sugarát növelve -nál a két egyensúlyi helyzet ,,összecsúszik'', az energiafüggvénynek pedig inflexiós pontja alakul ki. Ekkor és ennél nagyobb sugarú hengereknél semmilyen helyzetben nem lehet egyensúly, sőt már esetén is ‐ az energiafüggvény nagyon ,,sekély'' lokális minimuma miatt ‐ nagyon nehezen állítható be az egyensúlyi helyzet.
Megjegyzés. Kísérletileg is meghatározhatjuk az értéket amely több körülmény befolyásoló hatása miatt eltérhet a fenti elméleti értéktől. A felületi feszültség nem tiszta víz esetén megváltozik, a drót véges hosszúságú, és nagyon óvatosan kell a vízre tenni a zavarok elkerülése miatt. Tóth Tamás elvégezte a kísérletet, és szerinte mm esetén elsüllyed a drót. A megoldás során hallgatólagosan feltételeztük, hogy a víz egyáltalán nem nedvesíti az alumíniumot, vagyis hogy a víz és a fém ún. illeszkedési szöge . Ez szigorúan véve nem igaz, de a huzal felületének szennyeződése, ,,zsírossága'' miatt jó közelítésnek tekinthető.
|