Feladat: 2117. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Szokoly Gyula 
Füzet: 1987/március, 133 - 134. oldal  PDF file
Témakör(ök): Súlypont (tömegközéppont) meghatározása, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1986/március: 2117. fizika feladat

Határozzuk meg, hogy mekkora kockát helyezhetünk az R sugarú félgömbre az ábra szerint, ha azt akarjuk, hogy a kocka stabil egyensúlyban álljon.
 
 


A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a kocka oldala a, a félgömb sugara R (1. az ábrát)!

 
 

Tételezzük fel, hogy a súrlódás elég nagy ahhoz, hogy a kocka ne csússzon meg! (Ellenkező esetben nincsen stabil egyensúly.) A stabil egyensúly feltétele az, hogy a kockát kissé kitérítve, visszatérjen eredeti helyzetébe. Másképpen fogalmazva: kitérítéskor a helyzeti energiája nőjön. Térítsük ki a kockát kicsiny α szöggel, és határozzuk meg helyzeti energiájának változását! Mivel a kocka tapad a félgömbhöz, ez gördülő mozgást enged csak meg. Más szóval az AB távolság egyenlő Rα-val. B az a pont, amely eredetileg érintkezett a félgömbbel, α-t radiánban mérjük. A tömegközéppont eredeti magassága R+α/2, a jelenlegi pedig OA'+BB'+BC'. Az ábráról látható, hogy
OA'=Rcosα
BC'=acosα/2.
Mivel tudjuk, hogy AB=Rα, eszerint BB'=Rαsinα. Tehát a tömegközéppont magasságváltozása (h1 az eredeti, h2 az új magasság):
h2-h1=Rcosα+acosα/2+Rαsinα-(R+a/2)=

=(R+a/2)(cosα-1)+Rαsinα.

Mivel α nagyon kicsiny szög, használhatjuk a következő közelítéseket: sinα=α, cosα=1-α2/2.
Ezt beírva kapjuk, hogy kis kitérítés esetén a kocka tömegközéppontjának magasságváltozása α22[R-a/2]. Látható, hogy ahhoz, hogy ez zérusnál nagyobb legyen, az a<2R feltételnek kell teljesülnie. Ez egyben az elégséges feltétel is, ugyanis az előzőek alapján ezt a feltételt teljesítve mindig találhatunk olyan, kellően kicsiny α-t, amelyre a tömegközéppont emelkedni fog.
Tehát 2R>a a stabil egyensúly szükséges és elégséges feltétele.