Kezdőlap


Feladat:	2117. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Szokoly Gyula
Füzet:	1987/március, 133 - 134. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Súlypont (tömegközéppont) meghatározása, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1986/március: 2117. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a kocka oldala $a$ , a félgömb sugara $R$ (1. az ábrát)!

Tételezzük fel, hogy a súrlódás elég nagy ahhoz, hogy a kocka ne csússzon meg! (Ellenkező esetben nincsen stabil egyensúly.) A stabil egyensúly feltétele az, hogy a kockát kissé kitérítve, visszatérjen eredeti helyzetébe. Másképpen fogalmazva: kitérítéskor a helyzeti energiája nőjön. Térítsük ki a kockát kicsiny

α

szöggel, és határozzuk meg helyzeti energiájának változását! Mivel a kocka tapad a félgömbhöz, ez gördülő mozgást enged csak meg. Más szóval az

A B

távolság egyenlő

R \cdot α

-val.

B

az a pont, amely eredetileg érintkezett a félgömbbel,

α

-t radiánban mérjük. A tömegközéppont eredeti magassága

R + α / 2

, a jelenlegi pedig

O A' + B B' + B C'

. Az ábráról látható, hogy

O A' = R cos α

B C' = a cos α / 2.

Mivel tudjuk, hogy

A B = R \cdot α

, eszerint

B B' = R \cdot α \cdot sin α

. Tehát a tömegközéppont magasságváltozása (

h_{1}

az eredeti,

h_{2}

az új magasság):

\begin{matrix} h_{2} - h_{1} = R cos α + a \cdot cos α / 2 + R \cdot α sin α - (R + a / 2) = \end{matrix}

\begin{matrix} = (R + a / 2) (cos α - 1) + R α sin α . \end{matrix}

Mivel

α

nagyon kicsiny szög, használhatjuk a következő közelítéseket:

sin α = α

cos α = 1 - α^{2} / 2

.
Ezt beírva kapjuk, hogy kis kitérítés esetén a kocka tömegközéppontjának magasságváltozása

\frac{α^{2}}{2} [R - a / 2]

. Látható, hogy ahhoz, hogy ez zérusnál nagyobb legyen, az

a < 2 R

feltételnek kell teljesülnie. Ez egyben az elégséges feltétel is, ugyanis az előzőek alapján ezt a feltételt teljesítve mindig találhatunk olyan, kellően kicsiny

α

-t, amelyre a tömegközéppont emelkedni fog.
Tehát

2 R > a

a stabil egyensúly szükséges és elégséges feltétele.