Feladat: 2073. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Cynolter Gábor ,  Király Andrea ,  Marczin Attila ,  Miró József ,  Porgányi Gergely 
Füzet: 1986/május, 235 - 238. oldal  PDF file
Témakör(ök): Pontrendszerek mozgásegyenletei, Csúszó súrlódás, Rezgőmozgás (Tömegpont mozgásegyenlete), Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1985/november: 2073. fizika feladat

Egy kiskocsi végére az ábrán látható módon egy vele megegyező tömegű testet teszünk. A kocsi és a test között μ a súrlódási együttható. A kocsit a falhoz rögzített D direkciós erejű rugó irányába v sebességgel meglökjük.
a) Mennyi idő múlva csúszik meg a test a kocsin?
b) Hogyan változik a kocsi sebessége az idő függvényében?
 
 

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A kocsi és a rajta levő láda v0 állandó sebességgel érkezik a rugó szabad végéhez. (A kocsira ható gördülő és légellenállást elhanyagoljuk.) Ettől kezdve a rugó fékezni fogja a testeket az alábbi összefüggés szerint:

2Ma=-Dy,(1)
ahol y a rugó összenyomódása, a pedig a kocsi és a láda közös gyorsulása (1. ábra). ω1=D2M frekvenciájú harmonikus rezgőmozgás jön létre, amely addig tart, amíg a kocsi el nem hagyja a rugó végét (egy félperiódus után), vagy a láda meg nem csúszik a kocsin.
 
 
1. ábra
 

A rezgés maximális sebessége v0, így az amplitúdója A1=v0/ω1. Mérjük az időt a rugó elérésének pillanatától ‐ ekkor a kocsi sebességének időfüggése:
v(t)=v0cosω1t.(2)
A láda abban a t1 időpontban csúszik meg, amikor a rá ható fékezőerő eléri a súrlódási erő maximális μMg értékét:
MA1ω12sinω1t1=μMg;
t1=1ω1arcsinμgv1ω1=2MDarcsin(μgv02MD).(3)
A megcsúszás pillanatában, amikor a gyorsulás μg, az y1 kitérésre teljesül, hogy Dy1=2Mμg, innen
y1=2μMg/D.(4)
A sebesség ugyanekkor
v1=v0cosω1t1=v01-sin2ω1t1=v02-2μ2g2MD.(5)
Amennyiben
μgv02MD1,(I)
a láda nem csúszik meg a kocsin, és π/ω1=π2M/D félperiódusnyi idő eltelte után ‐ v0 sebességgel együtt elhagyják a rugót. Közben a sebességük a (2) egyenlet szerint változik (2. ábra).
 
 
2. ábra
 

Ha az (I) egyenlőtlenség nem teljesül, akkora láda megcsúszása után a kocsira ható erő:
Ma=-Dy+μMg.(6)
Innen a láda gyorsulása:
a=-DM(y-μMgD)=-DMy'(7)
ahol y'=y-μMg/D. A (7) egyenlet szerint a kocsi t1 időpont után is harmonikus rezgőmozgást fog végezni, de most ω2=DM=2ω1 frekvenciával és az yo=μMg/D nyugvópont körül. Ennek a rezgőmozgásnak az amplitúdója megkapható a t1-beli kitérésből és sebességből:
A2=y1'2+(v1/ω2)2=(8)=(μMgD)2+MD(v02-2μ2g2MD)=MDv02-μ2g2M/D.

A t1 időpontbeli φ2 fázisszög:
φ2=arcsiny1'/A2.(9)
A kocsi sebessége a t1 időpont után tehát:
v(t)=A2ω2cos[ω2(t-t1)+φ2].(10)

A láda mozgását a megcsúszás után csak a súrlódási erő befolyásolja, ezért a sebessége ekkor
v=v1-μg(t-t1).(11)
Ha a kocsi elég hosszú, és a láda nem csúszik le, akkor egy idő utána kocsi és a láda sebessége újból egyenlő lesz, és a csúszás megszűnik. Külön tárgyaljuk azt az esetet, amikor (II) a csúszás előbb szűnik meg, mint ahogy a kocsi elhagyja a rugót, és külön azt, amikor (III) a csúszás később szűnik meg. Az utóbbi esetben a rugó elhagyásának t2 időpontjában a láda sebessége nagyobb, mint a kocsié. Mivel ez a helyzet éppen π fázissal későbbi, mint a t1-beli,
t2=t1+π/ω2=t1+πMD,
a sebességekre pedig v1-μgπMD>-v1, amiből
μgv02MD<11+π2/80,6691.(III)

A rugó elhagyása után a kocsi sebessége:
v(t)=-v1+μg(t-t2)(13)
t3 időpontban végül a kocsi és a láda összetapad:
-v1+μg(t3-t2)=v1-μg(t3-t1).(14)
Innen
t3=v1μg+t12+t22=t1+π2ω2+v1μg,(15)
a közös sebesség az összetapadás után pedig
v3=-μgπ2ω2=-μgπ2MD.(16)
A (III) feltétel teljesülése esetén a kocsi és a láda sebességének a (2), (10), (11), (13) és (16) egyenlet szerinti időfüggését a 3. ábrán foglaltuk össze. Érdekes, hogy a visszalökődés utáni (16) sebesség nem függ v0 -tól.
 
 
3. ábra
 

Ha
11+π2/8μgv02MD<1,(II)
akkor, mint már említettük, a láda előbb tapad a kocsihoz, mint ahogy a kocsi elhagyja a rugót. A csúszás megszűnésének t2' időpontja a
v1-μg(t2'-t1)=A2ω2cos[ω2(t2'-t1)+φ2](17)
egyenletből határozható meg. Az egyenletet algebrai módszerekkel nem lehet megoldani. A konkrét adatok ismeretében t2' numerikusan meghatározható. t2' időpontban a kocsi helye és sebessége:
y2=y0+A2sin[ω2(t2'-t1)+φ2],(18)
v2'=A2ω2cos[ω2(t2'-t1)+φ2].(19)

Az összetapadás után a kocsi és a láda újból ω1=D2M frekvenciával rezeg a rugó nyugalmi helyzete körül. A rezgés új amplitúdója:
A3=y22+(v2'/ω1)2,
a fázis a t2' időpontban pedig:
φ3=arcsiny2A3=arccosv2'A3ω1.(21)
A kétféle meghatározással φ3-at egyértelművé tettük a [0,2π) intervallumban. A kocsi és a láda közös sebessége a t2' időpont után:
v(t)=A3ω1cos[ω1(t-t2')+φ3].(22)
A t3' időpontban a kocsi elhagyja a rugót. Ekkor a rezgés fázisa:
ω1(t3'-t2')+φ3=π,(23)
ebből
t3'=t2'+π-φ3ω1.(24)
A rugó elhagyása után a kocsi sebessége állandó:
v3'=-A3ω1.(24)
A (II) feltétel teljesülése esetén a kocsi és a láda sebességének a (2), (10), (11), (22) és (24) egyenlet szerinti időfüggését a 4. ábrán foglaltuk össze.
 
 
4. ábra
 

Végül nézzük azokat az eseteket, amikor a kocsi nem elég hosszú, és a láda leesik róla! A láda maximális elmozdulása legyen L! A láda leeshet (a) a rugó elhagyása előtt és (b) a rugó elhagyása után.
(a) A megcsúszás után a ládának a kocsihoz viszonyított elmozdulása:
l(t)=v1(t-t1)-12μg(t-t1)2-{A2sin[ω2(t-t1)+φ2]-A2sinφ2}.(25)
Amennyiben a (II) esetben a t2', a (III) esetben a t2 időpont előtt l(t)>L bekövetkezne, a láda lecsúszik a kocsiról. A leesés után a kocsi előbb ω2=DM frekvenciájú rezgőmozgást végez a rugó nyugalmi helyzete körül, majd a rugó elhagyása után állandó sebességgel halad tovább (lásd a 3. és 4. ábra szaggatott vonalait!).
(b) A (III) esetben a láda még lecsúszhat a rugó elhagyása után is. A t2 időpont után a ládának a kocsihoz viszonyított elmozdulása:
l(t)=v1(t-t1)-12μg(t-t1)2+y1-[-v1(t-t2)+12μg(t-t2)2].

Ha a t3 időpont előtt l(t)>L bekövetkezne, akkora láda lecsúszik a kocsiról (lásd a 3. ábra szaggatott vonalát!).
A láda mozgásának lehetőségeit az áttekinthetőség kedvéért az alábbi táblázatban foglaltuk össze: