Kezdőlap


Feladat:	2073. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Cynolter Gábor , Király Andrea , Marczin Attila , Miró József , Porgányi Gergely
Füzet:	1986/május, 235 - 238. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Pontrendszerek mozgásegyenletei, Csúszó súrlódás, Rezgőmozgás (Tömegpont mozgásegyenlete), Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1985/november: 2073. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A kocsi és a rajta levő láda $v_{0}$ állandó sebességgel érkezik a rugó szabad végéhez. (A kocsira ható gördülő és légellenállást elhanyagoljuk.) Ettől kezdve a rugó fékezni fogja a testeket az alábbi összefüggés szerint:

\begin{matrix} 2 M a = - D y, \end{matrix}

(1)

ahol

y

a rugó összenyomódása,

a

pedig a kocsi és a láda közös gyorsulása (1. ábra).

ω_{1} = \sqrt[]{\frac{D}{2 M}}

frekvenciájú harmonikus rezgőmozgás jön létre, amely addig tart, amíg a kocsi el nem hagyja a rugó végét (egy félperiódus után), vagy a láda meg nem csúszik a kocsin.

1. ábra

A rezgés maximális sebessége

v_{0}

, így az amplitúdója

A_{1} = v_{0} / ω_{1}

. Mérjük az időt a rugó elérésének pillanatától ‐ ekkor a kocsi sebességének időfüggése:

\begin{matrix} v (t) = v_{0} cos ω_{1} t . \end{matrix}

(2)

A láda abban a

t_{1}

időpontban csúszik meg, amikor a rá ható fékezőerő eléri a súrlódási erő maximális

μ M g

értékét:

\begin{matrix} M A_{1} ω_{1}^{2} sin ω_{1} t_{1} = μ M g; \end{matrix}

\begin{matrix} t_{1} = \frac{1}{ω_{1}} arc sin \frac{μ g}{v_{1} ω_{1}} = \sqrt[]{\frac{2 M}{D}} arc sin (\frac{μ g}{v_{0}} \sqrt[]{\frac{2 M}{D}}) . \end{matrix}

(3)

A megcsúszás pillanatában, amikor a gyorsulás

μ g

, az

y_{1}

kitérésre teljesül, hogy

D y_{1} = 2 M μ g

, innen

\begin{matrix} y_{1} = 2 μ M g / D . \end{matrix}

(4)

A sebesség ugyanekkor

\begin{matrix} v_{1} = v_{0} cos ω_{1} t_{1} = v_{0} \sqrt[]{1 - sin^{2} ω_{1} t_{1}} = \sqrt[]{v_{0}^{2} - \frac{2 μ^{2} g^{2} M}{D}} . \end{matrix}

(5)

Amennyiben

\begin{matrix} \frac{μ g}{v_{0}} \sqrt[]{\frac{2 M}{D}} ≧ 1, \end{matrix}

(I)

a láda nem csúszik meg a kocsin, és

π / ω_{1} = π \sqrt[]{2 M / D}

félperiódusnyi idő eltelte után ‐

v_{0}

sebességgel együtt elhagyják a rugót. Közben a sebességük a (2) egyenlet szerint változik (2. ábra).

2. ábra

Ha az (I) egyenlőtlenség nem teljesül, akkora láda megcsúszása után a kocsira ható erő:

\begin{matrix} M a = - D y + μ M g . \end{matrix}

(6)

Innen a láda gyorsulása:

\begin{matrix} a = - \frac{D}{M} (y - \frac{μ M g}{D}) = - \frac{D}{M} y' \end{matrix}

(7)

ahol

y^{'} = y - μ M g / D

. A (7) egyenlet szerint a kocsi

t_{1}

időpont után is harmonikus rezgőmozgást fog végezni, de most

ω_{2} = \sqrt[]{\frac{D}{M}} = \sqrt[]{2} ω_{1}

frekvenciával és az

y_{o} = μ M g / D

nyugvópont körül. Ennek a rezgőmozgásnak az amplitúdója megkapható a

t_{1}

-beli kitérésből és sebességből:

\begin{matrix} A_{2} = \sqrt[]{y_{1}^{' 2} + {(v_{1} / ω_{2})}^{2}} & = & (8) \\ = \sqrt[]{{(\frac{μ M g}{D})}^{2} + \frac{M}{D} (v_{0}^{2} - \frac{2 μ^{2} g^{2} M}{D})} & = \sqrt[]{\frac{M}{D}} \sqrt[]{v_{0}^{2} - μ^{2} g^{2} M / D} . \end{matrix}

t_{1}

időpontbeli

φ_{2}

fázisszög:

\begin{matrix} φ_{2} = arc sin y_{1}^{'} / A_{2} . \end{matrix}

(9)

A kocsi sebessége a

t_{1}

időpont után tehát:

\begin{matrix} v (t) = A_{2} ω_{2} cos [ω_{2} (t - t_{1}) + φ_{2}] . \end{matrix}

(10)

A láda mozgását a megcsúszás után csak a súrlódási erő befolyásolja, ezért a sebessége ekkor

\begin{matrix} v = v_{1} - μ g (t - t_{1}) . \end{matrix}

(11)

Ha a kocsi elég hosszú, és a láda nem csúszik le, akkor egy idő utána kocsi és a láda sebessége újból egyenlő lesz, és a csúszás megszűnik. Külön tárgyaljuk azt az esetet, amikor (II) a csúszás előbb szűnik meg, mint ahogy a kocsi elhagyja a rugót, és külön azt, amikor (III) a csúszás később szűnik meg. Az utóbbi esetben a rugó elhagyásának

t_{2}

időpontjában a láda sebessége nagyobb, mint a kocsié. Mivel ez a helyzet éppen

π

fázissal későbbi, mint a

t_{1}

-beli,

\begin{matrix} t_{2} = t_{1} + π / ω_{2} = t_{1} + π \sqrt[]{\frac{M}{D}}, \end{matrix}

a sebességekre pedig

v_{1} - μ g π \sqrt[]{\frac{M}{D}} > - v_{1}

, amiből

\begin{matrix} \frac{μ g}{v_{0}} \sqrt[]{\frac{2 M}{D}} < \frac{1}{\sqrt[]{1 + π^{2} / 8}} \approx 0,6691. \end{matrix}

(III)

A rugó elhagyása után a kocsi sebessége:

\begin{matrix} v (t) = - v_{1} + μ g (t - t_{2}) \end{matrix}

(13)

t_{3}

időpontban végül a kocsi és a láda összetapad:

\begin{matrix} - v_{1} + μ g (t_{3} - t_{2}) = v_{1} - μ g (t_{3} - t_{1}) . \end{matrix}

(14)

Innen

\begin{matrix} t_{3} = \frac{v_{1}}{μ g} + \frac{t_{1}}{2} + \frac{t_{2}}{2} = t_{1} + \frac{π}{2 ω_{2}} + \frac{v_{1}}{μ g}, \end{matrix}

(15)

a közös sebesség az összetapadás után pedig

\begin{matrix} v_{3} = - \frac{μ g π}{2 ω_{2}} = - \frac{μ g π}{2} \sqrt[]{\frac{M}{D}} . \end{matrix}

(16)

A (III) feltétel teljesülése esetén a kocsi és a láda sebességének a (2), (10), (11), (13) és (16) egyenlet szerinti időfüggését a 3. ábrán foglaltuk össze. Érdekes, hogy a visszalökődés utáni (16) sebesség nem függ

v_{0}

-tól.

3. ábra

\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt[]{1 + π^{2} / 8}} ≦ \frac{μ g}{v_{0}} \sqrt[]{\frac{2 M}{D}} < 1, \end{matrix}

(II)

akkor, mint már említettük, a láda előbb tapad a kocsihoz, mint ahogy a kocsi elhagyja a rugót. A csúszás megszűnésének

t_{2}^{'}

időpontja a

\begin{matrix} v_{1} - μ g (t_{2}^{'} - t_{1}) = A_{2} ω_{2} cos [ω_{2} (t_{2}^{'} - t_{1}) + φ_{2}] \end{matrix}

(17)

egyenletből határozható meg. Az egyenletet algebrai módszerekkel nem lehet megoldani. A konkrét adatok ismeretében

t_{2}^{'}

numerikusan meghatározható.

t_{2}^{'}

időpontban a kocsi helye és sebessége:

\begin{matrix} y_{2} = y_{0} + A_{2} sin [ω_{2} (t_{2}^{'} - t_{1}) + φ_{2}], \end{matrix}

(18)

\begin{matrix} v_{2}^{'} = A_{2} ω_{2} cos [ω_{2} (t_{2}^{'} - t_{1}) + φ_{2}] . \end{matrix}

(19)

Az összetapadás után a kocsi és a láda újból

ω_{1} = \sqrt[]{\frac{D}{2 M}}

frekvenciával rezeg a rugó nyugalmi helyzete körül. A rezgés új amplitúdója:

\begin{matrix} A_{3} = \sqrt[]{y_{2}^{2} + {(v_{2}^{'} / ω_{1})}^{2}}, \end{matrix}

a fázis a

t_{2}^{'}

időpontban pedig:

\begin{matrix} φ_{3} = arc sin \frac{y_{2}}{A_{3}} = arc cos \frac{v_{2}^{'}}{A_{3} ω_{1}} . \end{matrix}

(21)

A kétféle meghatározással

φ_{3}

-at egyértelművé tettük a

[0, 2 π)

intervallumban. A kocsi és a láda közös sebessége a

t_{2}^{'}

időpont után:

\begin{matrix} v (t) = A_{3} ω_{1} cos [ω_{1} (t - t_{2}^{'}) + φ_{3}] . \end{matrix}

(22)

t_{3}^{'}

időpontban a kocsi elhagyja a rugót. Ekkor a rezgés fázisa:

\begin{matrix} ω_{1} (t_{3}^{'} - t_{2}^{'}) + φ_{3} = π, \end{matrix}

(23)

ebből

\begin{matrix} t_{3}^{'} = t_{2}^{'} + \frac{π - φ_{3}}{ω_{1}} . \end{matrix}

(24)

A rugó elhagyása után a kocsi sebessége állandó:

\begin{matrix} v_{3}^{'} = - A_{3} ω_{1} . \end{matrix}

(24)

A (II) feltétel teljesülése esetén a kocsi és a láda sebességének a (2), (10), (11), (22) és (24) egyenlet szerinti időfüggését a 4. ábrán foglaltuk össze.

4. ábra

Végül nézzük azokat az eseteket, amikor a kocsi nem elég hosszú, és a láda leesik róla! A láda maximális elmozdulása legyen

L

! A láda leeshet (a) a rugó elhagyása előtt és (b) a rugó elhagyása után.
(a) A megcsúszás után a ládának a kocsihoz viszonyított elmozdulása:

\begin{matrix} l (t) = v_{1} (t - t_{1}) - \frac{1}{2} μ g {(t - t_{1})}^{2} - {A_{2} sin [ω_{2} (t - t_{1}) + φ_{2}] - A_{2} sin φ_{2}} . \end{matrix}

(25)

Amennyiben a (II) esetben a

t_{2}^{'}

, a (III) esetben a

t_{2}

időpont előtt

l (t) > L

bekövetkezne, a láda lecsúszik a kocsiról. A leesés után a kocsi előbb

ω_{2} = \sqrt[]{\frac{D}{M}}

frekvenciájú rezgőmozgást végez a rugó nyugalmi helyzete körül, majd a rugó elhagyása után állandó sebességgel halad tovább (lásd a 3. és 4. ábra szaggatott vonalait!).
(b) A (III) esetben a láda még lecsúszhat a rugó elhagyása után is. A

t_{2}

időpont után a ládának a kocsihoz viszonyított elmozdulása:

\begin{matrix} l (t) = v_{1} (t - t_{1}) - \frac{1}{2} μ g {(t - t_{1})}^{2} + y_{1} - [- v_{1} (t - t_{2}) + \frac{1}{2} μ g {(t - t_{2})}^{2}] . \end{matrix}

Ha a

t_{3}

időpont előtt

l (t) > L

bekövetkezne, akkora láda lecsúszik a kocsiról (lásd a 3. ábra szaggatott vonalát!).
A láda mozgásának lehetőségeit az áttekinthetőség kedvéért az alábbi táblázatban foglaltuk össze: