Feladat: 2052. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Czifrus Szabolcs 
Füzet: 1986/február, 92. oldal  PDF file
Témakör(ök): Forgási energia, Gördülés lejtőn, Rugalmas erő, Rezgőmozgás (Tömegpont mozgásegyenlete), Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1985/szeptember: 2052. fizika feladat

Adott α hajlásszögű lejtőre homogén, m tömegű, R sugarú hengeres testet helyezünk. A hengert egy D direkciós erejű ideális rugóval az ábrán látható módon a lejtő tetejéhez erősítjük. A rugó egy súrlódásmentes kengyellel csatlakozik a hengerhez. A test tiszta gördüléssel mozoghat a lejtőn, miközben a lejtővel mindig párhuzamos állású rugót is megnyújtja. Kezdetben a hengeres testet úgy tartjuk, hogy a rugó feszítetlen, majd a testet elengedjük.
 
 

a) Írjuk le a test mozgását! Mekkora a test lejtőmenti rezgésének frekvenciája?
b) Milyen maximális lejtőszög esetén nem csúszik még meg a test?

Numerikus adatok: μ=13, m=1 kg, R=2,4 cm, D=20 N/m.

a) Írjuk fel a henger haladó és forgó mozgására a mozgásegyenleteket!
 
 


mgsinα-S-Dx=ma,(1)SR=Θa/R,(2)


ahol S a tapadási súrlódási erő, a a tömegközéppont gyorsulása, x a rugó megnyúlása (amelyeket lefelé tekintünk pozitívnak), és Θ=(1/2)mR2 a henger tehetetlenségi nyomatéka. Oldjuk meg az egyenletrendszert az S és az a ismeretlenekre!
S=-Dx1+mR2/Θ+mgsinα1+mR2/Θ,(3)a=-Dxm+Θ/R2+mgsinαm+Θ/R2=-Dm+Θ/R2[x-mgsinαD].(4)

Az utóbbi egyenlet egy ω=Dm+Θ/R2 körfrekvenciájú rezgést ír le az x0=mgsinα/D nyugvópont körül. Behelyettesítve az adatokat: ω=3,65 s-1, f=ω/2π=0,58 s-1 ‐ függetlenül a lejtő hajlásszögétől. A rugó megnyúlása az idő függvényéhen:
x=x0-x0cosωt.(5)

 
 

b) A henger akkor csúszik meg, amikor |S|>μmgcosα, és akkor nem csúszik meg, ha a mozgás folyamán végig |S|μmgcosα. A (2) egyenlet szerint az S súrlódási erő arányos a gyorsulással, ezért maximális értékét a rezgés szélső pontjaiban veszi fel:
Smax=(Θ/R2)amax=(Θ/R2)x0ω2,(6)
mivel x0 egyben a rezgés amplitúdója is. A megcsúszáskor ennek kell nagyobbnak lennie μmgcosα-nál. Behelyettesítve az x0-ra és az ω-ra kapott kifejezéseket, majd Θ értékét:
ΘR2mgsinαDDm+Θ/R2>μgcosα,(7)tg α>(mR2/Θ+1)μ=3μ.


μ=1/3 esetén: tgα>1, α>45. Tehát α>45 esetén biztosan megcsúszik a henger, és 45-nál kisebb hajlásszögű lejtőn még nem csúszik meg a henger.
 

 Czifrus Szabolcs (Győr, Czuczor G. Bencés Gimn., III. o. t.)