Feladat: 2037. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Király Andrea 
Füzet: 1986/február, 88 - 89. oldal  PDF file
Témakör(ök): Rezgőmozgás (Tömegpont mozgásegyenlete), Rugalmas erő, Egyéb erőtörvény, Csúszó súrlódás, Munkatétel, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1985/május: 2037. fizika feladat

Az ábra szerinti elrendezésben a rugó eredeti hossza 1,6 m, rugóállandója 60 N/m. A rugó egyik végét rögzítjük, majd a rugót kinyújtjuk 2,4 m hosszúságúra, és a másik végére egy 7,5 kg tömegű testet erősítünk. A súrlódási együttható a test és a vízszintes talaj között 0,4. A testet elengedjük.
 
 

a) Hol áll meg a test?
b) Hol van a test, amikor a sebessége a legnagyobb?
c) Mekkora ez a legnagyobb sebesség?

A testen csak a vízszintes irányban ható erők végeznek munkát. Ezek: a súrlódási erő S=μmg=30 N, és a rugóerő F=Dx, m=7,5 kg a test tömege, g=10 m/s2 a nehézségi gyorsulás, μ=0,4 a súrlódási együttható, D=60 N/m a rugóállandó és x a rugó megnyúlása. A két erő ellentétes irányú, ha a test sebességének iránya meg nem változik, de ez, mint látni fogjuk, nem következik be.
A testre ható eredő erő Fe=F-S.
A mozgás során érvényes az energiamegmaradás tétele:
(1/2)mv2=(1/2)Dx02-(1/2)Dx2-μmg(x0-x),
ahol x0=0,8 m a kezdeti megnyúlás, v az x megnyúláshoz tartozó pillanatnyi sebesség.
a) A test megáll, ha pillanatnyi sebessége nulla. Az előbbi összefüggés alapján a megállás helyére a következő két értéket kapjuk:
x1=(2μmg/D)-x0=0,2 m,x2=x0=0,8 m.



 
 

Csak az x1=0,2 m megoldás esetén teljesül, hogy a tapadási súrlódási erő nagyobb, mint a rugóerő. A másik gyök a kezdeti állapotot jelenti, amikor ugyan v=0, de az eredő erő képes elindítani a testet, tehát nincs nyugalom. A test tehát akkor áll meg, amikor a rugó megnyúlása 0,2 m. Ekkor a test a rögzítési ponttól 1,8 m-re van.
A grafikonról leolvasható, hogy a testen végzett munka a indulástól a megállásig épp nulla.
b)  A maximális sebességet ott éri el a test, ahol a rá ható erők eredője  (Fe)  épp nulla, hiszen e hely előtt  Fe>0, azaz a test gyorsul, utána pedig  Fe<0, azaz a test lassul. Jelölje ezen a helyen  xm  a rugó megnyúlását!  
Ekkor  
Dxm-μmg=0;
  így  
xm=μmg/D=0,5 m.

Fe(x)  lineáris függvénye a rugó megnyúlásának, ezért  xm  éppen számtani közepe  x1-nek és  x2-nek, amely megnyúlásoknál a test sebessége épp nulla.
c)  A maximális megnyúláshoz tartozó sebesség értékét az energiamegmaradás tétele segítségével határozhatjuk meg:  
(1/2)mvm2=(1/2)Dx02-(1/2)Dxm2-μmg(x0-xm).
  Innen  
vm=(x0-μmgD)Dm=0,85  m/s.

 

 Király Andrea  (Bp., Berzsenyi D. Gimn., II. o. t.)