Kezdőlap


Feladat:	2037. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Király Andrea
Füzet:	1986/február, 88 - 89. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Rezgőmozgás (Tömegpont mozgásegyenlete), Rugalmas erő, Egyéb erőtörvény, Csúszó súrlódás, Munkatétel, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1985/május: 2037. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A testen csak a vízszintes irányban ható erők végeznek munkát. Ezek: a súrlódási erő $S = μ m g = 30 N$ , és a rugóerő $F = D x$ , $m = 7, 5 kg$ a test tömege, $g = 10 {m/s}^{2}$ a nehézségi gyorsulás, $μ = 0, 4$ a súrlódási együttható, $D = 60 N/m$ a rugóállandó és $x$ a rugó megnyúlása. A két erő ellentétes irányú, ha a test sebességének iránya meg nem változik, de ez, mint látni fogjuk, nem következik be.
A testre ható eredő erő $F_{e} = F - S$ .
A mozgás során érvényes az energiamegmaradás tétele:

\begin{matrix} (1 / 2) m v^{2} = (1 / 2) D x_{0}^{2} - (1 / 2) D x^{2} - μ m g (x_{0} - x), \end{matrix}

ahol

x_{0} = 0, 8 m

a kezdeti megnyúlás,

v

x

megnyúláshoz tartozó pillanatnyi sebesség.

a)

A test megáll, ha pillanatnyi sebessége nulla. Az előbbi összefüggés alapján a megállás helyére a következő két értéket kapjuk:

\begin{matrix} x_{1} = (2 μ m g / D) - x_{0} = 0, 2 m, \\ x_{2} = x_{0} = 0, 8 m . \end{matrix}

Csak az

x_{1} = 0, 2 m

megoldás esetén teljesül, hogy a tapadási súrlódási erő nagyobb, mint a rugóerő. A másik gyök a kezdeti állapotot jelenti, amikor ugyan

v = 0

, de az eredő erő képes elindítani a testet, tehát nincs nyugalom. A test tehát akkor áll meg, amikor a rugó megnyúlása

0, 2 m

. Ekkor a test a rögzítési ponttól

1, 8 m

-re van.
A grafikonról leolvasható, hogy a testen végzett munka a indulástól a megállásig épp nulla.

b)

A maximális sebességet ott éri el a test, ahol a rá ható erők eredője

(F_{e})

épp nulla, hiszen e hely előtt

F_{e} > 0

, azaz a test gyorsul, utána pedig

F_{e} < 0

, azaz a test lassul. Jelölje ezen a helyen

x_{m}

a rugó megnyúlását!

Ekkor

\begin{matrix} D x_{m} - μ m g = 0; \end{matrix}

így

\begin{matrix} x_{m} = μ m g / D = 0, 5 m . \end{matrix}

F_{e} (x)

lineáris függvénye a rugó megnyúlásának, ezért

x_{m}

éppen számtani közepe

x_{1}

-nek és

x_{2}

-nek, amely megnyúlásoknál a test sebessége épp nulla.

c)

A maximális megnyúláshoz tartozó sebesség értékét az energiamegmaradás tétele segítségével határozhatjuk meg:

\begin{matrix} (1 / 2) m v_{m}^{2} = (1 / 2) D x_{0}^{2} - (1 / 2) D x_{m}^{2} - μ m g (x_{0} - x_{m}) . \end{matrix}

Innen

\begin{matrix} v_{m} = (x_{0} - \frac{μ m g}{D}) \sqrt[]{\frac{D}{m}} = 0, 85 m/s . \end{matrix}