Feladat: 1995. fizika feladat Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Kintli Lajos ,  Szolnoki Attila 
Füzet: 1985/november, 424 - 425. oldal  PDF file
Témakör(ök): Egyenletesen változó mozgás (Tömegpont mozgásegyenelete), Súrlódási határszög, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1985/január: 1995. fizika feladat

Egy ember a befagyott tó széléről a jég szintjéről indítva a lehető legmesszebb szeretne eljuttatni egy m=0,2 kg tömegű homokzsákot, amit maximum 10 m/s kezdősebességgel tud elindítani. Milyen szögben dobja a homokzsákot? (A jég és a homokzsák közti súrlódási együttható μ=0,035. A közegellenállástól tekintsünk el!)

A homokzsák mozgását három szakaszra bonthatjuk:
1. Az α szögben, v kezdősebességgel elhajított zsák s1=(2v2/g)sinαcosα távolságban zuhan a jégre.
2. Az ütközés a jéggel tökéletesen rugalmatlan. A zsák igen rövid Δt idő alatt elveszíti a függőleges irányú lendületét egy viszonylag nagy F függőleges nyomóerő hatására: FΔt=mvsinα. Az ütközés alatt a súrlódási erő ennek a nyomóerőnek μ-szöröse. Ez a súrlódási erő vízszintes irányú μFΔt lendületváltozást okoz, ami az előbbi összefüggés miatt μFΔt=mvμsinα. Ezért az ütközés során a zsák vízszintes irányú sebességváltozása vμsinα. Az ütközés után a zsák sebessége tehát vízszintes, a sebesség nagysága pedig v(cosα-μsinα), ha tg  α<1/μ. Ha tgα1/μ, akkor a zsák az ütközéskor megáll.
3. A zsák a jégen csúszva egyenletes μg lassulással megáll. Ez alatt a megtett út:
s2=v2(cosα-μsinα)22μg.
A zsák végül s=s1+s2 távolságra került,
s=v2g2sinαcosα+v22μg(cosα-μsinα)2=v22μg(cosα+μsinα)2,
s akkor maximális, ha cosα+μsinα maximális. Válasszunk olyan ε számot, amelyre tgε=μ! Ekkor
cosα+μsinα=cosεcosα+sinεsinαcosε=cos(α-ε)cosε.

Ez utóbbi kifejezés mint α függvénye akkor maximális, ha α=ε, vagyis tgα=μ. Teljesülnie kell a csúszás feltételének:
tgα=μ<1/μ,vagyis annak, hogyμ<1.

Ha μ<1, akkor a maximális távolságra μ-től függetlenül α=45 szögben hajítható el a zsák, amely ilyenkor a földetérés után már nem fog csúszni.
A feladatban μ=0,035, így α=2.
 

 Kintli Lajos (Zalaegerszeg, Zrínyi M. Gimn., III. o. t.)
 

Megjegyzés. Az ütközés alatti lendületváltozásokra kapott eredmények akkor is igazak, ha az F nyomóerő időben nem állandó. Ilyenkor a függőleges lendületváltozás:
t1t1+ΔtFdt=mvsinα,
a vizszintes pedig:t2t2+ΔtμFdt=mvμsinα.

 

 Szolnoki Attila (Nyíregyháza, Krúdy Gy. Gimn., IV. o. t.)