Kezdőlap


Feladat:	1995. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Kintli Lajos , Szolnoki Attila
Füzet:	1985/november, 424 - 425. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenletesen változó mozgás (Tömegpont mozgásegyenelete), Súrlódási határszög, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1985/január: 1995. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A homokzsák mozgását három szakaszra bonthatjuk:
1. Az $α$ szögben, $v$ kezdősebességgel elhajított zsák $s_{1} = (2 v^{2} / g) sin α cos α$ távolságban zuhan a jégre.
2. Az ütközés a jéggel tökéletesen rugalmatlan. A zsák igen rövid $Δ t$ idő alatt elveszíti a függőleges irányú lendületét egy viszonylag nagy $F$ függőleges nyomóerő hatására: $F \cdot Δ t = m v sin α$ . Az ütközés alatt a súrlódási erő ennek a nyomóerőnek $μ$ -szöröse. Ez a súrlódási erő vízszintes irányú $μ F \cdot Δ t$ lendületváltozást okoz, ami az előbbi összefüggés miatt $μ F \cdot Δ t = m v μ sin α$ . Ezért az ütközés során a zsák vízszintes irányú sebességváltozása $v μ sin α$ . Az ütközés után a zsák sebessége tehát vízszintes, a sebesség nagysága pedig $v (cos α - μ sin α)$ , ha $tg α < 1 / μ$ . Ha $tg α ≧ 1 / μ$ , akkor a zsák az ütközéskor megáll.
3. A zsák a jégen csúszva egyenletes $μ g$ lassulással megáll. Ez alatt a megtett út:

\begin{matrix} s_{2} = \frac{v^{2} {(cos α - μ sin α)}^{2}}{2 μ g} . \end{matrix}

A zsák végül

s = s_{1} + s_{2}

távolságra került,

\begin{matrix} s = \frac{v^{2}}{g} 2 sin α cos α + \frac{v^{2}}{2 μ g} {(cos α - μ sin α)}^{2} = \frac{v^{2}}{2 μ g} {(cos α + μ sin α)}^{2}, \end{matrix}

s

akkor maximális, ha

cos α + μ sin α

maximális. Válasszunk olyan

ε

számot, amelyre

tg ε = μ

! Ekkor

\begin{matrix} cos α + μ sin α = \frac{cos ε cos α + sin ε sin α}{cos ε} = \frac{cos (α - ε)}{cos ε} . \end{matrix}

Ez utóbbi kifejezés mint

α

függvénye akkor maximális, ha

α = ε

, vagyis

tg α = μ

. Teljesülnie kell a csúszás feltételének:

\begin{matrix} tg α = μ < 1 / μ, vagyis annak, hogy μ < 1. \end{matrix}

μ < 1

, akkor a maximális távolságra

μ

-től függetlenül

α = 45^{\circ}

szögben hajítható el a zsák, amely ilyenkor a földetérés után már nem fog csúszni.
A feladatban

μ = 0, 035

, így

α = 2^{\circ}

Megjegyzés. Az ütközés alatti lendületváltozásokra kapott eredmények akkor is igazak, ha az

F

nyomóerő időben nem állandó. Ilyenkor a függőleges lendületváltozás:

\begin{matrix} \int_{t_{1}}^{t_{1} + Δ t} F d t = m v sin α, a vizszintes pedig: \int_{t_{2}}^{t_{2} + Δ t} μ F d t = m v μ sin α . \end{matrix}