Feladat: 1990. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Both Emőke ,  Jász Tibor ,  Kustra Péter ,  Láng Róbert 
Füzet: 1985/november, 419 - 420. oldal  PDF file
Témakör(ök): Felületi feszültségből származó energia, Görbületi nyomás, Egyéb tágulási munka, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1985/január: 1990. fizika feladat

5 cm átmérőjű szappanbuborékot tovább fújva 10 cm átmérőjűre növelünk. Mekkora a felület növelésére és mekkora a térfogat növelésére fordított munka, ha a szappanbuborék felületi feszültsége 0,03 N/m?

A feladatban feltett kérdés megtévesztő volt. A helyesen feltett kérdés így hangzik: Mekkora a felületi energia változása, illetve a buborékban levő túlnyomás (görbületi nyomás) ellen végzett munka?
Számoljuk ki először a felületi energia változását! A felületi energia megváltozása a felület ΔA megnövelésekor: ΔE=αΔA, ahol α a felületi feszültség. Így
E2-E1=α(A2-A1),
ahol A2-A1 az összfelület (külső és belső) megváltozása.
A2-A1=2(4πR22-4πR12),E2-E1=8πα(R22-R12)=0,0014J.


A felületi energia változása tehát 0,0014 J.
Most határozzuk meg a túlnyomás ellen végzett munkát! A szappanbuborékot csak lassan tudjuk felfújni, ezért a belső nyomása (p), a külső légköri nyomás (p0) és a túlnyomás, vagy más néven görbületi nyomás (pg) összege:
p=p0+pg.

Határozzuk meg pg értékét! A buborék egy főköre mentén a felületi feszültségből adódó erő Ff=2α2rπ, ahol α a felületi feszültség, r a gömb sugara. (A buborékhártyának két szabad felszíne van, ezért szerepel a kettes szorzótényező.) Ez az erő a főkör r2π területén hat, az általa okozott túlnyomás:
pg=4αrπ/r2π=4α/r.

A túlnyomás a sugár növelésével csökken, így a ΔW=pgΔV összefüggéssel csak kis  ΔV térfogatváltozás esetén tudjuk meghatározni a munkavégzést. Gömb esetén ΔV=AΔr, így W=pgAΔr, ezért ezt a munkát egy
F=pgA=(4α/r)4πr2=16παr
erő munkájának lehet tekinteni. F az r sugárnak lineáris függvénye, így a teljes munkát
Fátl=F1+F22
átlagos erővel számíthatjuk:
W=F1+F22(R2-R1)=16παR2+R12(R2-R1)=8πα(R22-R12).

A görbületi nyomás ellen végzett munka tehát megegyezik a felületi energia változásával. Ez természetes is, hiszen a görbületi nyomás ellen végzett munka és a felületi energia olyan viszonyban van egymással, mint a gravitációs erő ellen végzett munka és a helyzeti energia.
 

 Láng Róbert (Balatonfüred, Lóczy L. Gimn., I. o. t.)
 dolgozata alapján