Kezdőlap


Feladat:	1990. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Both Emőke , Jász Tibor , Kustra Péter , Láng Róbert
Füzet:	1985/november, 419 - 420. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Felületi feszültségből származó energia, Görbületi nyomás, Egyéb tágulási munka, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1985/január: 1990. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A feladatban feltett kérdés megtévesztő volt. A helyesen feltett kérdés így hangzik: Mekkora a felületi energia változása, illetve a buborékban levő túlnyomás (görbületi nyomás) ellen végzett munka?
Számoljuk ki először a felületi energia változását! A felületi energia megváltozása a felület $Δ A$ megnövelésekor: $Δ E = α \cdot Δ A$ , ahol $α$ a felületi feszültség. Így

\begin{matrix} E_{2} - E_{1} = α (A_{2} - A_{1}), \end{matrix}

ahol

A_{2} - A_{1}

az összfelület (külső és belső) megváltozása.

\begin{matrix} A_{2} - A_{1} = 2 \cdot (4 π R_{2}^{2} - 4 π R_{1}^{2}), \\ E_{2} - E_{1} = 8 π α (R_{2}^{2} - R_{1}^{2}) = 0, 0014 J . \end{matrix}

A felületi energia változása tehát

0, 0014

J.
Most határozzuk meg a túlnyomás ellen végzett munkát! A szappanbuborékot csak lassan tudjuk felfújni, ezért a belső nyomása

(p)

a külső légköri nyomás

(p_{0})

és a túlnyomás, vagy más néven görbületi nyomás

(p_{g})

összege:

\begin{matrix} p = p_{0} + p_{g} . \end{matrix}

Határozzuk meg

p_{g}

értékét! A buborék egy főköre mentén a felületi feszültségből adódó erő

F_{f} = 2 α 2 r π

, ahol

α

a felületi feszültség,

r

a gömb sugara. (A buborékhártyának két szabad felszíne van, ezért szerepel a kettes szorzótényező.) Ez az erő a főkör

r^{2} π

területén hat, az általa okozott túlnyomás:

\begin{matrix} p_{g} = 4 α r π / r^{2} π = 4 α / r . \end{matrix}

A túlnyomás a sugár növelésével csökken, így a

Δ W = p_{g} Δ V

összefüggéssel csak kis

Δ V

térfogatváltozás esetén tudjuk meghatározni a munkavégzést. Gömb esetén

Δ V = A \cdot Δ r

, így

W = p_{g} A \cdot Δ r

, ezért ezt a munkát egy

\begin{matrix} F = p_{g} A = (4 α / r) \cdot 4 π r^{2} = 16 π α r \end{matrix}

erő munkájának lehet tekinteni.

F

r

sugárnak lineáris függvénye, így a teljes munkát

\begin{matrix} F_{átl} = \frac{F_{1} + F_{2}}{2} \end{matrix}

átlagos erővel számíthatjuk:

\begin{matrix} W = \frac{F_{1} + F_{2}}{2} \cdot (R_{2} - R_{1}) = 16 π α \cdot \frac{R_{2} + R_{1}}{2} \cdot (R_{2} - R_{1}) = 8 π α (R_{2}^{2} - R_{1}^{2}) . \end{matrix}

A görbületi nyomás ellen végzett munka tehát megegyezik a felületi energia változásával. Ez természetes is, hiszen a görbületi nyomás ellen végzett munka és a felületi energia olyan viszonyban van egymással, mint a gravitációs erő ellen végzett munka és a helyzeti energia.