Feladat: 1984. fizika feladat Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Urbán László 
Füzet: 1985/november, 413 - 415. oldal  PDF file
Témakör(ök): Pontszerű töltés térerőssége, Rezgőmozgás (Tömegpont mozgásegyenlete), Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1984/december: 1984. fizika feladat

Négy egyenlő Q töltést egy a oldalú négyzet csúcsaiban az ábrán látható módon rögzítettünk. Mekkora a térerősség a négyzet síkjára merőleges, a középpontján áthaladó egyenes mentén? Milyen periódusidővel rezeg (ha egyáltalán rezeg) az az m tömegű, q töltésű kis test, amelyet a négyzet középpontjából a négyzet síkjára merőlegesen kicsit kimozdítunk? Van-e olyan irány, amelybe a középpontból kimozdítva e kis testet, az a kimozdítás irányában gyorsul tovább?
(Q=10-17 C, q=-1,610-19 C, a=10-9 m, m=9,110-31 kg.)
 
 

a) Az elrendezés szimmetriája miatt nyilvánvaló, hogy a feladatban megadott e egyenes mentén a térerősségnek csak az egyenes irányába eső komponense van, amely a négy ponttöltés által keltett térerősség összege. Ez a négyzet síkjától OP¯=z távolságra levő P pontban (l. az ábrát):
Ez=4kQr2cosα=4kQz(a22+z2)3/2,(1)
ahol k a Coulomb állandó.
 
 

b) Ha za, a akkor a térerősség (1) kifejezésében
a2/2+z2a2/2,
így a P pontba helyezett q töltésre
Fz=Eq82kQqa3z(2)
erő hat. Ha feltételezzük, hogy Qq<0 (ellentétes előjelű töltések) és a gravitációtól eltekintünk, akkor az m tömegű, q töltésű test mozgásegyenlete a (2) egyenlet alapján
az=Fz/m=-ω2z
alakba írható, amely a rezgőmozgás dinamikai feltétele, ahol
ω=2πT=k82|Qq|a3m.(3)
Adatainkkal (3)-ból a rezgés körfrekvenciája, illetve periódusideje
ω1,31016(1/s),T=4,710-16s.

c) Van olyan irány, amelybe a q töltésű testet kimozdítva az O középpontból, az a kimozdítás irányában gyorsul tovább. Ezt a következőképpen láthatjuk be: Helyezzük a q töltést a négyzet átlóján levő R pontba! Az OR¯=x, OC¯=a/2=b jelölésekkel a test helyzeti energiája az R pontban
VR(x)=kQq(1AR¯+1CR¯+1BR¯+1DR¯)==kQq(1b-x+1b+x+2b2+x2).(4)


Mivel
V'R(x)=kQq[1(b-x)2-1(b+x)2-2x(b2+x2)3/2]==2kQqx[2b(b2-x2)2-1(b2+x2)3/2],


azért V'R(0)=0; továbbá az x=0 hely egy kis környezetében
x<0eseténVR(x)>0,x>0eseténVR(x)<0,(5)
ugyanis Qq<0, és a legutóbbi szögletes zárójelben álló kifejezés az x=0 hely egy környezetében pozitív, mivel x=0 esetén értéke 1/b3-0. Ez azt jelenti, hogy a VR függvénynek a 0 helyen lokális maximuma van, tehát a q töltés kis elmozdítása helyzeti energia csökkenéssel jár, vagyis az egyensúlyi helyzet az O pontban instabil. Másrészt világos, hogy a q töltésre az R pontban ható erők eredője átlóirányú, így OR¯ valóban a kívánt irány.
Hasonló számolással kimutatható, hogy a négyzet középvonalai mentén történő (kis) elmozdítások esetén is teljesül a kívánt feltétel.
 

 Urbán László (Kazincbarcika, Ságvári E. Gimn., III. o. t.)