Kezdőlap


Feladat:	1984. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Urbán László
Füzet:	1985/november, 414 - 415. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Pontszerű töltés térerőssége, Rezgőmozgás (Tömegpont mozgásegyenlete), Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1984/december: 1984. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

a) Az elrendezés szimmetriája miatt nyilvánvaló, hogy a feladatban megadott $e$ egyenes mentén a térerősségnek csak az egyenes irányába eső komponense van, amely a négy ponttöltés által keltett térerősség összege. Ez a négyzet síkjától $\bar{O P} = z$ távolságra levő $P$ pontban (l. az ábrát):

\begin{matrix} E_{z} = 4 \frac{k Q}{r^{2}} cos α = 4 k Q \frac{z}{{(\frac{a^{2}}{2} + z^{2})}^{3 / 2}}, \end{matrix}

(1)

ahol

k

a Coulomb állandó.

b) Ha

z ≪ a

, a akkor a térerősség (1) kifejezésében

\begin{matrix} a^{2} / 2 + z^{2} \approx a^{2} / 2, \end{matrix}

így a

P

pontba helyezett

q

töltésre

\begin{matrix} F_{z} = E q \approx 8 \sqrt[]{2} k \frac{Q q}{a^{3}} z \end{matrix}

(2)

erő hat. Ha feltételezzük, hogy

Q q < 0

(ellentétes előjelű töltések) és a gravitációtól eltekintünk, akkor az

m

tömegű,

q

töltésű test mozgásegyenlete a (2) egyenlet alapján

\begin{matrix} a_{z} = F_{z} / m = - ω^{2} z \end{matrix}

alakba írható, amely a rezgőmozgás dinamikai feltétele, ahol

\begin{matrix} ω = \frac{2 π}{T} = \sqrt[]{k \frac{8 \sqrt[]{2} | Q q |}{a^{3} m}} . \end{matrix}

(3)

Adatainkkal (3)-ból a rezgés körfrekvenciája, illetve periódusideje

\begin{matrix} ω \approx 1, 3 \cdot 10^{16} (1/s), T = 4, 7 \cdot 10^{- 16} s . \end{matrix}

c) Van olyan irány, amelybe a

q

töltésű testet kimozdítva az

O

középpontból, az a kimozdítás irányában gyorsul tovább. Ezt a következőképpen láthatjuk be: Helyezzük a

q

töltést a négyzet átlóján levő

R

pontba! Az

\bar{O R} = x

\bar{O C} = a / \sqrt[]{2} = b

jelölésekkel a test helyzeti energiája az

R

pontban

\begin{matrix} V_{R} (x) = k Q q (\frac{1}{\bar{A R}} + \frac{1}{\bar{C R}} + \frac{1}{\bar{B R}} + \frac{1}{\bar{D R}}) = \\ = k Q q (\frac{1}{b - x} + \frac{1}{b + x} + \frac{2}{\sqrt[]{b^{2} + x^{2}}}) . & (4) \end{matrix}

Mivel

\begin{matrix} V'_{R} (x) = k Q q [\frac{1}{{(b - x)}^{2}} - \frac{1}{{(b + x)}^{2}} - \frac{2 x}{{(b^{2} + x^{2})}^{3 / 2}}] = \\ = 2 k Q q x [\frac{2 b}{{(b^{2} - x^{2})}^{2}} - \frac{1}{{(b^{2} + x^{2})}^{3 / 2}}], \end{matrix}

azért

V'_{R} (0) = 0

; továbbá az

x = 0

hely egy kis környezetében

\begin{matrix} x < 0 esetén V_{R} (x) > 0, x > 0 esetén V_{R} (x) < 0, \end{matrix}

(5)

ugyanis

Q q < 0

, és a legutóbbi szögletes zárójelben álló kifejezés az

x = 0

hely egy környezetében pozitív, mivel

x = 0

esetén értéke

1 / b^{3} > 0

. Ez azt jelenti, hogy a

V_{R}

függvénynek a

0

helyen lokális maximuma van, tehát a

q

töltés kis elmozdítása helyzeti energia csökkenéssel jár, vagyis az egyensúlyi helyzet az

O

pontban instabil. Másrészt világos, hogy a

q

töltésre az

R

pontban ható erők eredője átlóirányú, így

\bar{O R}

valóban a kívánt irány.
Hasonló számolással kimutatható, hogy a négyzet középvonalai mentén történő (kis) elmozdítások esetén is teljesül a kívánt feltétel.