Feladat: 1943. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Kintli Lajos ,  Porgányi Gergely 
Füzet: 1984/december, 477 - 478. oldal  PDF file
Témakör(ök): Nyomóerő, kötélerő, Körmozgás (Tömegpont mozgásegyenlete), Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1984/május: 1943. fizika feladat

Az ábrán látható módon egy T alakú merev vázra két egyenlő hosszú fonállal egy m tömegű testet kötöttünk. A rendszert az AB tengely körül állandó ω szögsebességgel forgatjuk. Hol vannak eközben az m tömegű test egyensúlyi helyzetei h függvényében, és milyenek ezek a stabilitás szempontjából? (h az m tömegű test A ponttól mért távolsága.)
 
 

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az egyensúlyi helyzetet a rendszerrel együtt forgó koordinátarendszerben keressük. Ha mindkét kötél feszes, a függő test helyzetét az 1. ábrán jelölt α szöggel jellemezhetjük. A testre ható erők: a G=mg nagyságú súlyerő; az Fc=mhsinαω2 nagyságú centrifugális erő, valamint a két kötél húzóereje.
 
 
1. ábra
 

A test akkor van egyensúlyban, ha a súlyerő és a centrifugális erő A pontra vonatkozó forgatónyomatékának összege zérus:
mh2ω2sinαcosα-mghsinα=0.

Az egyenlet megoldásai:
α=0,hagω2h1,
valamint
α=0ésα=arccosgω2h,hagω2h<1.
Ezek tehát a rendszer egyensúlyi helyzetei.
Vizsgáljuk meg a helyzetek stabilitását ! Ehhez határozzuk meg a forgatónyomaték α szerinti deriváltját az α0 egyensúlyi pontban. A forgatónyomaték pozitív forgásiránya egyezzék meg α pozitív forgásirányával ! Mivel M(α0)=0, így
limΔα0M(α0+Δα)Δα=limΔα0M(α0+Δα)-M(α0)Δα=M'(α0),
tehát elég kis Δα esetén M(α0+Δα) ugyanolyan előjelű, mint Δα, ha M'(α0) pozitív és ellenkező előjelű, mint Δα, ha M'(α0) negatív. Ezért ha a derivált negatív, akkor kis kitérésekre a forgatónyomaték ellenkező előjelű, mint Δα, tehát visszaviszi a testet az α0 egyensúlyi helyzetbe, vagyis az egyensúlyi helyzet stabil. Ha a derivált pozitív, akkor a forgatónyomaték Δα-val azonos előjelű lesz, tehát tovább növeli a kitérést, vagyis az egyensúlyi helyzet instabil.
Az A pontra vonatkozó eredő forgatónyomaték:
M=mh2ω2sinαcosα-mghsinα,
ennek α szerinti deriváltja:
M'(α)=mh2ω2(cos2α-sin2α)-mghcosα.
Az egyensúlyi helyzetekben felvett érték:
M'(0)=mω2h2(1-gω2h),M'(arccosgω2h)=mω2h2[(gω2h)2-1].



Tehát ha gω2h1, akkor az α=0 az egyetlen egyensúlyi helyzet, és ez stabil, viszont ha gω2h<1, akkor az α=0 helyzet instabil, az α=arccosgω2h pedig stabil.
 
 
2. ábra
 

 
 
3. ábra
 

A 2. és 3. ábrán α-t, illetve a függő test és az A pont hcosα szintkülönbségét láthatjuk h függvényében, rögzített ω mellett. A folytonos vonal stabil, a szaggatott instabil egyensúlyt jelöl.
Létrejöhet egy harmadik egyensúlyi helyzet is úgy, hogy az egyik fonál nem feszül. Vezessük be a 4. ábrán látható l,L és β paramétereket!
 
 
4. ábra
 

Az egyensúly feltétele:
m(lsinβ-L)ω2cosβ-mgsinβ=0.
Ez sinα-ban negyedfokú egyenletre vezet.