A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Az egyensúlyi helyzetet a rendszerrel együtt forgó koordinátarendszerben keressük. Ha mindkét kötél feszes, a függő test helyzetét az 1. ábrán jelölt szöggel jellemezhetjük. A testre ható erők: a nagyságú súlyerő; az nagyságú centrifugális erő, valamint a két kötél húzóereje.
1. ábra A test akkor van egyensúlyban, ha a súlyerő és a centrifugális erő pontra vonatkozó forgatónyomatékának összege zérus: | |
Az egyenlet megoldásai: valamint | | Ezek tehát a rendszer egyensúlyi helyzetei. Vizsgáljuk meg a helyzetek stabilitását ! Ehhez határozzuk meg a forgatónyomaték szerinti deriváltját az egyensúlyi pontban. A forgatónyomaték pozitív forgásiránya egyezzék meg pozitív forgásirányával ! Mivel , így | | tehát elég kis esetén ugyanolyan előjelű, mint , ha pozitív és ellenkező előjelű, mint , ha negatív. Ezért ha a derivált negatív, akkor kis kitérésekre a forgatónyomaték ellenkező előjelű, mint , tehát visszaviszi a testet az egyensúlyi helyzetbe, vagyis az egyensúlyi helyzet stabil. Ha a derivált pozitív, akkor a forgatónyomaték -val azonos előjelű lesz, tehát tovább növeli a kitérést, vagyis az egyensúlyi helyzet instabil. Az pontra vonatkozó eredő forgatónyomaték: | | ennek szerinti deriváltja: | | Az egyensúlyi helyzetekben felvett érték:
Tehát ha , akkor az az egyetlen egyensúlyi helyzet, és ez stabil, viszont ha , akkor az helyzet instabil, az pedig stabil.
2. ábra
3. ábra A 2. és 3. ábrán -t, illetve a függő test és az pont szintkülönbségét láthatjuk függvényében, rögzített mellett. A folytonos vonal stabil, a szaggatott instabil egyensúlyt jelöl. Létrejöhet egy harmadik egyensúlyi helyzet is úgy, hogy az egyik fonál nem feszül. Vezessük be a 4. ábrán látható és paramétereket!
4. ábra Az egyensúly feltétele: | | Ez -ban negyedfokú egyenletre vezet.
|