Feladat: 1898. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Arany-Tóth László ,  Bíró Tamás ,  Horváth András ,  Kucsera Itala ,  Láng Róbert ,  Móré Gábor ,  Thaler Ferenc 
Füzet: 1984/május, 231 - 233. oldal  PDF file
Témakör(ök): Felületi feszültségből származó energia, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1984/január: 1898. fizika feladat

Az ábrán látható, csuklókkal ellátott merev oldalakból álló négyszög csak a síkjában mozoghat. A síkbeli mozgás nem engedi meg, hogy az oldalak keresztezzék egymást. A négyszöget szappanoldatba mártva szappanhártya keletkezik rajta. Milyen alakú idommá húzza össze a négyszöget a felületi feszültség?
 
 

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A folyadékhártya a felületi feszültség miatt a minimális felszínű felületre igyekszik összehúzódni. Az összehúzódás mindig csak a kisebb felületű alak felé történhet, tehát a mozgás során a felület nem növekedhet.

 
 
1. ábra
 

A keret alakját egyértelműen jellemzi az 1. ábrán jelölt α szög. Azt kell tehát megkeresnünk, milyen α szög esetén lesz a keret által meghatározott négyszög területe a legkisebb. Ehhez célszerű ábrázolni a négyszög területét, F-et, az α szög függvényében. Néhány esetben a négyszöget egyszerűen megszerkeszthetjük, ennek alapján az α szög könnyen megállapítható, ill. lemérhető, F pedig egyszerűen kiszámolható. Ezekben az esetekben a keret alakja a 2. ábrán látható; α,(δ) és F értékeit az alábbi táblázatban foglaltuk össze:
 

δ()   180   90   α()   0   41   90   129   180   240F(cm2)   6   7,94   10   10,36   9,17   6,93


 
 
2. ábra
 


(Az ábráról azt is leolvashatjuk, hogy α legfeljebb 240 lehet.) A 3. ábrán látható grafikonon ezeknek az eseteknek a bejelölt pontok felelnek meg. A grafikon további pontjait kaphatjuk meg, ha különböző α szögek esetén milliméter papíron megszerkesztjük az ABCD négyszöget, majd ,,leszámoljuk'' a területét. Így megkapjuk a 3. ábrán látható grafikont.
 
 
3. ábra
 

A grafikonról leolvashatjuk, hogy a négyszögnek van egy olyan állása, amikor területe a lehető legnagyobb. Ha α csökken vagy nő a maximális területhez tartozó α0 szöghöz képest, akkor a terület csökken. Ezért ha a keretet olyan helyzetben mártjuk az oldatba, amikor α<α0, akkor α=0-os helyzetűre húzza össze a felületi feszültség, ha pedig α>α0, akkor α=240-os helyzetűre.


 

Megjegyzés. A terület az 1. ábra jelöléseivel
F=14sinα2+45sinγ2.(1)

Írjuk fel a koszinusz-tételt az ABD és a BCD háromszögre:
BD2=12+42-214cosα,BD2=42+52-245cosγ.


E két egyenletből
cosγ=3+cosα5.
Ezt az összefüggést és a sinγ=1-cos2γ egyenlőséget felhasználva
F=2(sinα+25-(3+cosα)2).
Ez az α szög és a négyszög területe közötti pontos összefüggés.