Feladat: 1885. fizika feladat Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Csillag Péter ,  Magyar Péter ,  Németh-Buhin Ákos 
Füzet: 1984/április, 181 - 182. oldal  PDF file
Témakör(ök): Steiner-tétel, Forgási energia, Energiamegmaradás, Analógia alkalmazása, Harmonikus rezgőmozgás, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1983/november: 1885. fizika feladat

Tömör, homogén, r sugarú hengerbe r/2 sugarú henger alakú lyukat fúrunk az ábrán látható módon. Az így kapott testet vízszintes lapra helyezzük. A súrlódási együttható igen nagy. Kis kitérések esetén milyen periódusidővel rezeg a test egyensúlyi helyzete körül?
 

1885. feladat
 

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A henger szögelfordulása legyen α, szögsebessége α˙! A henger tömege legyen (3/4) m, vagyis a lyuk nélkül éppen m! Mivel a kivágott rész középpontja (r/2)(1-cosα) távolsággal került lejjebb, azért a helyzeti energia a nyugalmi helyzethez viszonyítva:

V=(m/4)g(r/2)(1-cosα)(1/2)(mgr/8)α2.
Tehát a helyzeti energia az α szögelfordulás négyzetével arányos kis α szögre, így a henger a nyugalmi helyzete körül harmonikus rezgőmozgást végez.
A rezgés során a maximális kitérés legyen αm, a maximális szögsebesség α˙m! Ha a rezgés körfrekvenciája ω, akkor α˙m=ωαm. Az αm és α˙m között az energiamegmaradás teremt kapcsolatot. A mozgási energia abban a pillanatban, amikor α=0, Km=(1/2)Θα˙m2 ahol Θ a forgástengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomaték ‐ a pillanatnyi forgástengely mindig a talajjal érintkező egyenes. Kis α kitérésekre Θ-t is állandónak vehetjük. Felhasználva, hogy az m tömegű, r sugarú henger szimmetriatengelyére vonatkozó tehetetlenségi nyomatéka (1/2)mr2, a Steiner-tétel alkalmazásával kapjuk:
Θ=12mr2+mr2-[12m4(r2)2+m4(32r)2]=2932mr2.
A szöglatos zárójelben levő tag a kivágott rész tehetetlenségi nyomatéka. A mozgási energia maximuma végül
Km=(1/2)(29/32)mr2(α˙m)2.
Az energia megmaradása miatt ez egyenlő a helyzeti energia
Vm=12mgr8αm2
maximumával. Ebből
α˙m=429grαm.

Tehát a rezgés körfrekvenciája
ω=429gr,
poriódusideje pedig
T=2π294rg.