Kezdőlap


Feladat:	1885. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Csillag Péter , Magyar Péter , Németh-Buhin Ákos
Füzet:	1984/április, 181 - 182. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Steiner-tétel, Forgási energia, Energiamegmaradás, Analógia alkalmazása, Harmonikus rezgőmozgás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1983/november: 1885. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A henger szögelfordulása legyen $α$ , szögsebessége $\dot{α}$ ! A henger tömege legyen (3/4) $m$ , vagyis a lyuk nélkül éppen $m$ ! Mivel a kivágott rész középpontja ( $r / 2) (1 - cos α$ ) távolsággal került lejjebb, azért a helyzeti energia a nyugalmi helyzethez viszonyítva:

\begin{matrix} V = (m / 4) g (r / 2) (1 - cos α) \approx (1 / 2) (m g r / 8) α^{2} . \end{matrix}

Tehát a helyzeti energia az

α

szögelfordulás négyzetével arányos kis

α

szögre, így a henger a nyugalmi helyzete körül harmonikus rezgőmozgást végez.
A rezgés során a maximális kitérés legyen

α_{m}

, a maximális szögsebesség

{\dot{α}}_{m}

! Ha a rezgés körfrekvenciája

ω

, akkor

{\dot{α}}_{m} = ω α_{m}

. Az

α_{m}

és

{\dot{α}}_{m}

között az energiamegmaradás teremt kapcsolatot. A mozgási energia abban a pillanatban, amikor

α = 0

K_{m} = (1 / 2) Θ {\dot{α}}_{m}^{2}

ahol

Θ

a forgástengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomaték ‐ a pillanatnyi forgástengely mindig a talajjal érintkező egyenes. Kis

α

kitérésekre

Θ

-t is állandónak vehetjük. Felhasználva, hogy az

m

tömegű,

r

sugarú henger szimmetriatengelyére vonatkozó tehetetlenségi nyomatéka (1/2)

m r^{2}

, a Steiner-tétel alkalmazásával kapjuk:

\begin{matrix} Θ = \frac{1}{2} m r^{2} + m r^{2} - [\frac{1}{2} \cdot \frac{m}{4} {(\frac{r}{2})}^{2} + \frac{m}{4} {(\frac{3}{2} r)}^{2}] = \frac{29}{32} m r^{2} . \end{matrix}

A szöglatos zárójelben levő tag a kivágott rész tehetetlenségi nyomatéka. A mozgási energia maximuma végül

\begin{matrix} K_{m} = (1 / 2) (29 / 32) m r^{2} {({\dot{α}}_{m})}^{2} . \end{matrix}

Az energia megmaradása miatt ez egyenlő a helyzeti energia

\begin{matrix} V_{m} = \frac{1}{2} \frac{m g r}{8} α_{m}^{2} \end{matrix}

maximumával. Ebből

\begin{matrix} {\dot{α}}_{m} = \sqrt[]{\frac{4}{29} \frac{g}{r}} α_{m} . \end{matrix}

Tehát a rezgés körfrekvenciája

\begin{matrix} ω = \sqrt[]{\frac{4}{29} \frac{g}{r}}, \end{matrix}

poriódusideje pedig

\begin{matrix} T = 2 π \sqrt[]{\frac{29}{4} \frac{r}{g}} . \end{matrix}