Feladat: 1856. fizika feladat Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Barabás Tibor ,  Fonyódi Ferenc ,  Szakállas Gyula 
Füzet: 1984/január, 40 - 42. oldal  PDF file
Témakör(ök): Ellenállás hőmérsékletfüggése, Áram hőhatása (Joule-hő), Közelítő számítások, numerikus módszerek, Határozott integrál, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1983/május: 1856. fizika feladat

Egy A keresztmetszetű rézhuzalon a rövidzárlat során I áram folyik át. A rövidzárlat előtt T0 hőmérsékletű volt a vezető. Becsüljük meg, menyi idő múlva olvad el a huzal! A sugárzási veszteségektől tekintsünk el! (Az anyag fajlagos ellenállása függ a hőmérséklettől: ϱ=ϱ0[1+α(T-T0)], ahol ϱ0 a T0 hőmérsékletű vezető fajlagos ellenállása, α az anyag hőfoktényezője. A T hőmérséklet  K-ben adott. Adatok: α=1235C-1, ϱ0=1,6510-8Ω m, A=2 mm2, I=120 A, T0=313 K.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Az l hosszúságú rézhuzalon Δt idő alatt

Q=I2R(T)Δt(1)
Joule hő fejlődik. (R(T) a huzal ellenállását jelöli T hőmérsékleten.) A fajlagos ellenállás hőfokfüggéséből:
R(T)=(ϱ0l/A)[1+α(T-T0)].(2)
A rövid Δt idő alatt a vezeték hőmérsékletváltozása legyen ΔT, így az általa felvett hő
Q=cmΔT,(3)
ahol c=385J/kgC, a réz fajhője, amelyről feltesszük, hogy nem függ a hőmérséklettől; m az l hosszúságú huzal tömege,
m=ϱrAl,(4)
ϱ=8,96103kg/m3 a rézhuzal sűrűsége.
Mivel a sugárzási veszteségektől eltekintünk, az (1) Joule hő egyenlő a (3) hőfelvétellel. Így felhasználva a (2) és (4) összefüggést, rendezés után kapjuk:
ΔT/Δt=(I/A)2(ϱ0/cϱr)[1+α(T-T0)].(5)

Az (5) összefüggés alapján numerikusan számoljuk ki azt az időt, amíg a huzal eléri a Tolv olvadáspontot (Tolv=1356K). Osszuk fel a [T0,Tolv] hőmérséklet intervallumot n egyenlő részre. Ekkor
ΔT=Tolv-T0n.
Az i-edik hőmérséklet intervallumhoz Δti idő tartozik. Így az olvadásig eltelt idő:
t=i=1nΔti.

A Δti értékeket az (5) alapján számolhatjuk:
Δti=1(I/A)2(ϱ0/cϱr)ΔT1+α(Ti-T0),
ahol Ti=T0+iΔT=T0+iTolv-T0n az i-edik intervallumra jellemző hőmérséklet.
Végül az előző két kifejezés alapján
i=1(ϱ0/c)(I/A)2(Tolv-T0)i=1n1n+iα(Tolv-T0).(6)
A (6) kifejezés alapján n=250 felosztás esetén t-re a következő numerikus értéket kapjuk zsebszámológéppel: t=23,01s23s.
A rézhuzal szerkezetének inhomogenitása miatt nem a teljes huzal kezd el olvadni, hanem csak egy bizonyos pontja. Az olvadási idő igen rövid, körülbelül 1-2s lehet. (Számszerűen az olvadás idejének csak a nagyságrendjét tudjuk megadni.) Ezért a huzal elszakadásáig eltelt idő 23-25s nagyságú.
 
II. megoldás. Induljunk ki az (5) kifejezésből. Δt0 esetén a bal oldal határértéke
limΔt0ΔTΔt=dTdt.
Ez pedig a hőmérséklet idő szerinti differenciálhányadosa. Így (5) alapján
dTdt=(IA)2ϱ0cϱr[1+α(T-T0)].(7)
Vezessük be a T*=1+α(T-T0) új változót. Ekkor (7) új alakja
dT*dt=BT*,aholB=(IA)2ϱ0αcϱr.

Ennek az összefüggésnek (ún. differenciálegyenletnek) eleget tesznek a T*(t)=DeBt képlettel megadott függvények (D tetszőleges állandó lehet). Továbbá ismeretes, hogy ha egy függvény egy intervallumon kielégíti a fenti differenciálegyenletet, akkor szükségképpen T*(t)=DeBt alakú.
A D együtthatót a kezdeti t=0 időpillanatban felvett T* alapján határozhatjuk meg. T*(0)=D=1. Az utóbbi egyenlőséget abból kapjuk, hogy t=0-nál T=T0, és így T*(0)=1. Tehát
T(t)=T0+(1/α)(eBt-1).
Ha az olvadásig eltelt idő t, akkor T(t)=Tolv. Ebből
t=(1/B)ln[1+α(Tolv-T0)]=1(I/A)2(ϱ0α/cϱr)[ln1+α(Tolv-T0)].

Numerikusan számolva t=23,1s.