Feladat: 1846. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Csillag Péter 
Füzet: 1983/december, 235 - 236. oldal  PDF file
Témakör(ök): p arányos V-vel, Ideális gáz állapotegyenlete, I. főtétel, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1983/április: 1846. fizika feladat

A V0=8 liter normál állapotú nitrogén úgy tágul ki V1=12 literre, hogy a nyomása közben a térfogattal lineárisan változik, és végül p1=1,5105 Pa lesz.
a) Mekkora térfogatnál éri el a hőmérsékletváltozás az összhőmérsékletváltozás felét?
b) Mekkora a folyamat során felvett hő?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelölje a 0 index a normál állapotú adatokat, míg az 1 index a lineáris térfogatváltozással elért értékeket (T0=273K,V0=810-3m3,p0=105Pa,V1=1210-3m3,p1=1,5105 Pa). A feladat szerint a nyomás és a térfogat között lineáris az összefüggés:

p=αV.(1)

A teljes hőmérsékletváltozás felének megfelelő hőmérsékletet jelöljük T*-gal:
T*=T0+T1-T02=T1+T02.(2)
A T* hőmérséklethez tartozó térfogatot az egyesített gáztörvényből határozhatjuk meg: p0V0/T0=p*V*/T*.
Az (1) és (2) egyenleteket felhasználva kapjuk:
(V*)2V02=T1+T02T0.(3)
Az egyesített gáztörvényből
T1=p1V1p0V0T0=V12V02T0.
Ezt beírva (3)-ba
V*=V12+V022=104l=10,2l.

Az állapotváltozás során felvett hőt az I. főtételből határozhatjuk meg:
ΔU=Q+W,(4)
ahol ΔU a belső energia változása, W a gázon végzett munka, Q pedig a gáz által felvett hő. A belső energiát ideális gázoknál a gáz hőmérséklete egyértelműen meghatározza és változása
ΔU=cvmΔT,(5)
ahol cv az állandó térfogathoz tartozó fajhő, m a gáz tömege.
A nitrogén kétatomos gáz, így cv=(5/2)(k/m0), ahol k a Boltzmann-állandó, m0 a nitrogén molekula tömege. A gáz tömegének kiszámításához az egyesített gáztörvény következő alakját használjuk:
p0V0=m(k/m0)T0.
A hőmérsékletváltozást már előbb kiszámítottuk; mindezt beírva (5)-be
ΔU=52km0p0V0T0(k/m0(p1V1p0V0-1)T0=52(p1V1-p0V0).(6)
 

A gázon végzett munkát az ábrán látható pV diagram segítségével határozhatjuk meg; a végzett munka az állapotváltozást leíró egyenes alatti területtel egyenlő:
W=p0+p12(V1-V0).
A gáz által felvett hő tehát
Q=52(p1V1-p0V0)+p0+p12(V1-V0).
A megadott adatokat behelyettesítve Q=3000 J-t kapunk.
 

 Csillag Péter (Budapest, Landler J. Szakközépisk., III. o. t.)