Kezdőlap


Feladat:	1846. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Csillag Péter
Füzet:	1983/december, 235 - 236. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	p arányos V-vel, Ideális gáz állapotegyenlete, I. főtétel, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1983/április: 1846. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelölje a $0$ index a normál állapotú adatokat, míg az $1$ index a lineáris térfogatváltozással elért értékeket ( $T_{0} = 273 K, V_{0} = 8 \cdot 10^{- 3} m^{3}, p_{0} = 10^{5} Pa, V_{1} = 12 \cdot 10^{- 3} m^{3}, p_{1} = 1, 5 \cdot 10^{5}$ Pa). A feladat szerint a nyomás és a térfogat között lineáris az összefüggés:

\begin{matrix} p = α V . \end{matrix}

(1)

A teljes hőmérsékletváltozás felének megfelelő hőmérsékletet jelöljük

T^{*}

-gal:

\begin{matrix} T^{*} = T_{0} + \frac{T_{1} - T_{0}}{2} = \frac{T_{1} + T_{0}}{2} . \end{matrix}

(2)

T^{*}

hőmérséklethez tartozó térfogatot az egyesített gáztörvényből határozhatjuk meg:

p_{0} V_{0} / T_{0} = p^{*} V^{*} / T^{*} .

Az (1) és (2) egyenleteket felhasználva kapjuk:

\begin{matrix} \frac{{(V^{*})}^{2}}{V_{0}^{2}} = \frac{T_{1} + T_{0}}{2 T_{0}} . \end{matrix}

(3)

Az egyesített gáztörvényből

\begin{matrix} T_{1} = \frac{p_{1} V_{1}}{p_{0} V_{0}} T_{0} = \frac{V_{1}^{2}}{V_{0}^{2}} T_{0} . \end{matrix}

Ezt beírva (3)-ba

\begin{matrix} V^{*} = \sqrt[]{\frac{V_{1}^{2} + V_{0}^{2}}{2}} = \sqrt[]{1} 04 l = 10, 2 l . \end{matrix}

Az állapotváltozás során felvett hőt az I. főtételből határozhatjuk meg:

\begin{matrix} Δ U = Q + W, \end{matrix}

(4)

ahol

Δ U

a belső energia változása,

W

a gázon végzett munka,

Q

pedig a gáz által felvett hő. A belső energiát ideális gázoknál a gáz hőmérséklete egyértelműen meghatározza és változása

\begin{matrix} Δ U = c_{v} m Δ T, \end{matrix}

(5)

ahol

c_{v}

az állandó térfogathoz tartozó fajhő,

m

a gáz tömege.
A nitrogén kétatomos gáz, így

c_{v} = (5 / 2) (k / m_{0}),

ahol

k

a Boltzmann-állandó,

m_{0}

a nitrogén molekula tömege. A gáz tömegének kiszámításához az egyesített gáztörvény következő alakját használjuk:

\begin{matrix} p_{0} V_{0} = m (k / m_{0}) T_{0} . \end{matrix}

A hőmérsékletváltozást már előbb kiszámítottuk; mindezt beírva (5)-be

\begin{matrix} Δ U = \frac{5}{2} \cdot \frac{k}{m_{0}} \cdot \frac{p_{0} V_{0}}{T_{0} (k / m_{0}} (\frac{p_{1} V_{1}}{p_{0} V_{0}} - 1) T_{0} = \frac{5}{2} (p_{1} V_{1} - p_{0} V_{0}) . \end{matrix}

(6)

A gázon végzett munkát az ábrán látható

p V

diagram segítségével határozhatjuk meg; a végzett munka az állapotváltozást leíró egyenes alatti területtel egyenlő:

\begin{matrix} W = \frac{p_{0} + p_{1}}{2} (V_{1} - V_{0}) . \end{matrix}

A gáz által felvett hő tehát

\begin{matrix} Q = \frac{5}{2} (p_{1} V_{1} - p_{0} V_{0}) + \frac{p_{0} + p_{1}}{2} (V_{1} - V_{0}) . \end{matrix}

A megadott adatokat behelyettesítve

Q = 3000

J-t kapunk.

Csillag Péter (Budapest, Landler J. Szakközépisk., III. o. t.)