Feladat: 1845. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Horváth Ákos ,  Megyesi Gábor ,  Szakállas Gyula 
Füzet: 1983/december, 233 - 235. oldal  PDF file
Témakör(ök): Rezgőmozgás (Tömegpont mozgásegyenlete), Rugalmas erő, Közelítő számítások, numerikus módszerek, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1983/április: 1845. fizika feladat

Két azonos D direkciós erejű rugó az ábrán látható módon van összekapcsolva a B pontban. A rugókra egy m tömegű testet erősítünk. Egyensúlyi helyzetben a B pont a távolságra van a felfüggesztési síktól. AC=2d. Határozzuk meg az m tömegű test függőleges irányú rezgésidejét kis kitérések esetén!
 

1845. feladat
 

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

 

Egyensúly esetén egy-egy rugóban F(α) erő hat. Írjuk fel az egyensúly feltételét! A két rugóban fellépő erő vízszintes komponensének eredője zérus. A függőleges komponensek összege megegyezik az m tömegű test súlyával:
2F(a)ad2+a2=mg.(1)
Innen F(α) értéke meghatározható.
Ha az m tömegű test az egyensúlyi helyzethez képest x távolsággal mozdul el függőleges irányban, akkor az egyik rugóban ébredő erő
F(α+x)=F(α)+D(d2+(a+x)2-d2+a2).(2)
A testre ható eredő erő vízszintes komponense zérus és a függőleges komponense
Fy=mg-2Fy(a+x),(3)
ahol Fy(a+x) az egyik rugóban fellépő erő függőleges komponense. Ha sikerülne Fy-t úgy felírni, hogy arányos legyen az (a-x) kitéréssel, akkor az arányossági tényező megadná a rendszer D' direkciós erejét és ebből a rezgésidő meghatározható lenne:
Fy=D'x,(4)T=2πm/D'.(5)
A rugóerő függőleges komponense
Fy(a+x)=F(a+x)a+xd2+(a+x)2.
Az (1), (2) egyenletek alapján
Fy(a+x)=[mgd2+a22a+D(d2+(a+x)2-d2+a2]a+xd2+(a+x)2==mg2x+aad2+a2d2+(a+x)2+D(a+x)-Dd2+a2d2+(a+x)2(a+x).(6)



Ez a kifejezés sajnos nem arányos x-szel.
A feladat feltételei szerint xa Próbáljuk meg ekkor linearizálni az Fy(a+x) kifejezést!
 

Először az alábbi közelítést végezzük el:
(d2+(a+x)2)-1=(d2+a21+2axd2+a2+x2d2+a2)-1[d2+a21+2axd2+a2]-1[d2+a2(1+axd2+a2)]-11d2+a2(1+axd2+a2).(7)


A közelítések során először az x2d2+a2 tagot elhagytuk, mert 1 mellett másodrendűen kicsi. Ezután sorrendben a következő közelítő formulákat alkalmaztuk:
1+y1+y/2,hay1és(1+y)-11-y,hay1.
A (7) közelítő alakot (6)-ba írva:
Fy(a+x)mg2x+aa(1-axd2+a2)+D(a+x)-D(1-axd2+a2)(a+x).
Elvégezve a kijelölt műveleteket és az x2-t tartalmazó tagokat elhagyva, a következő kifejezést kapjuk:
Fy(a+x)=mg2+[mg2(1a-ad2+a2)+Da2d2+a2]x.

Ezt (3)-ba írva:
Fy=-[mg(1a-ad2+a2)+2Da2d2+a2]x.
Látható, hogy itt Fy lineáris x-ben és együtthatója a D' direkciós erő:
D'=mgad2d2+a2+2Da2d2+a2.
Végül a rezgésidő (5) alapján:
T=2πm(d2+a2)a2a3D+d2mg.

 

 Horváth Ákos (Bp., Fazekas M. Gyak. Gimn., III. o. t.)
 

Megjegyzés. Több megoldó nem vette figyelembe az F(a) rugóerőt, ami egyensúlyi helyzetben lép fel a rugókban.