Feladat:	1845. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Horváth Ákos ,  Megyesi Gábor ,  Szakállas Gyula
Füzet:	1983/december, 233 - 235. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Rezgőmozgás (Tömegpont mozgásegyenlete), Rugalmas erő, Közelítő számítások, numerikus módszerek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1983/április: 1845. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Egyensúly esetén egy-egy rugóban $F\left(\alpha \right)$ erő hat. Írjuk fel az egyensúly feltételét! A két rugóban fellépő erő vízszintes komponensének eredője zérus. A függőleges komponensek összege megegyezik az $m$ tömegű test súlyával: $\begin{array}{c}{\displaystyle 2F\left(a\right)\frac{a}{\sqrt[]{d^2+a^2}}=mg\mathrm{.}}\end{array}$ (1) Innen $F\left(\alpha \right)$ értéke meghatározható. Ha az $m$ tömegű test az egyensúlyi helyzethez képest $x$ távolsággal mozdul el függőleges irányban, akkor az egyik rugóban ébredő erő $\begin{array}{c}{\displaystyle F\left(\alpha +x\right)=F\left(\alpha \right)+D\left(\sqrt[]{d^2+{\left(a+x\right)}^2}-\sqrt[]{d^2+a^2}\right)\mathrm{.}}\end{array}$ (2) A testre ható eredő erő vízszintes komponense zérus és a függőleges komponense $\begin{array}{c}{\displaystyle F_y=mg-2F_y\left(a+x\right)\mathrm{,}}\end{array}$ (3) ahol $F_y\left(a+x\right)$ az egyik rugóban fellépő erő függőleges komponense. Ha sikerülne $F_y$-t úgy felírni, hogy arányos legyen az $\left(a-x\right)$ kitéréssel, akkor az arányossági tényező megadná a rendszer $D\text{'}$ direkciós erejét és ebből a rezgésidő meghatározható lenne: ${\displaystyle \begin{array}{ccc}\hfill {\displaystyle }& {\displaystyle F_y=D\text{'}x\mathrm{,}}\hfill & \text{(<mn>4</mn>)}\\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle T=2\pi \sqrt[]{m/D\text{'}}\mathrm{.}}\hfill & \text{(<mn>5</mn>)}\end{array}}$ A rugóerő függőleges komponense $\begin{array}{c}{\displaystyle F_y\left(a+x\right)=F\left(a+x\right)\frac{a+x}{\sqrt[]{d^2+{\left(a+x\right)}^2}}\mathrm{.}}\end{array}$ Az (1), (2) egyenletek alapján ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle F_y\left(a+x\right)=\left[\frac{mg\sqrt[]{d^2+a^2}}{2a}+D(\sqrt[]{d^2+{\left(a+x\right)}^2}-\sqrt[]{d^2+a^2}\right]\frac{a+x}{\sqrt[]{d^2+{\left(a+x\right)}^2}}=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle =\frac{mg}{2}\cdot \frac{x+a}{a}\cdot \frac{\sqrt[]{d^2+a^2}}{\sqrt[]{d^2+{\left(a+x\right)}^2}}+D\left(a+x\right)-D\frac{\sqrt[]{d^2+a^2}}{\sqrt[]{d^2+{\left(a+x\right)}^2}}\left(a+x\right)\mathrm{.}}\hfill & \text{(<mn>6</mn>)}\end{array}}$ Ez a kifejezés sajnos nem arányos $x$-szel. A feladat feltételei szerint $x\ll a$ Próbáljuk meg ekkor linearizálni az $F_y\left(a+x\right)$ kifejezést!   Először az alábbi közelítést végezzük el: ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle {\left(\sqrt[]{d^2+{\left(a+x\right)}^2}\right)}^{-1}={\left(\sqrt[]{d^2+a^2}\sqrt[]{1+\frac{2ax}{d^2+a^2}+\frac{x^2}{d^2+a^2}}\right)}^{-1}\approx }\hfill \\ \hfill {\displaystyle \approx {\left[\sqrt[]{d^2+a^2}\sqrt[]{1+\frac{2ax}{d^2+a^2}}\right]}^{-1}\approx {\left[\sqrt[]{d^2+a^2}\left(1+\frac{ax}{d^2+a^2}\right)\right]}^{-1}\approx \frac{1}{\sqrt[]{d^2+a^2}}\left(1+\frac{ax}{d^2+a^2}\right)\mathrm{.}}\hfill & \text{(<mn>7</mn>)}\end{array}}$ A közelítések során először az $\frac{x^2}{d^2+a^2}$ tagot elhagytuk, mert $1$ mellett másodrendűen kicsi. Ezután sorrendben a következő közelítő formulákat alkalmaztuk: $\begin{array}{c}{\displaystyle \sqrt[]{1+y}\approx 1+y/\mathrm{2,}\text{ha}y\ll 1\text{és}{\left(1+y\right)}^{-1}\approx 1-y\mathrm{,}\text{ha}y\ll 1.}\end{array}$ A (7) közelítő alakot (6)-ba írva: $\begin{array}{c}{\displaystyle F_y\left(a+x\right)\approx \frac{mg}{2}\cdot \frac{x+a}{a}\left(1-\frac{ax}{d^2+a^2}\right)+D\left(a+x\right)-D\left(1-\frac{ax}{d^2+a^2}\right)\left(a+x\right)\mathrm{.}}\end{array}$ Elvégezve a kijelölt műveleteket és az $x^2$-t tartalmazó tagokat elhagyva, a következő kifejezést kapjuk: $\begin{array}{c}{\displaystyle F_y\left(a+x\right)=\frac{mg}{2}+\left[\frac{mg}{2}\left(\frac{1}{a}-\frac{a}{d^2+a^2}\right)+D\frac{a^2}{d^2+a^2}\right]x\mathrm{.}}\end{array}$ Ezt (3)-ba írva: $\begin{array}{c}{\displaystyle F_y=-\left[mg\left(\frac{1}{a}-\frac{a}{d^2+a^2}\right)+2D\frac{a^2}{d^2+a^2}\right]x\mathrm{.}}\end{array}$ Látható, hogy itt $F_y$ lineáris $x$-ben és együtthatója a $D\text{'}$ direkciós erő: $\begin{array}{c}{\displaystyle D\text{'}=\frac{mg}{a}\cdot \frac{d^2}{d^2+a^2}+2D\frac{a^2}{d^2+a^2}\mathrm{.}}\end{array}$ Végül a rezgésidő (5) alapján: $\begin{array}{c}{\displaystyle T=2\pi \sqrt[]{\frac{m\left(d^2+a^2\right)a}{2a^{3}D+d^{2}mg}}\mathrm{.}}\end{array}$    Horváth Ákos (Bp., Fazekas M. Gyak. Gimn., III. o. t.)   Megjegyzés. Több megoldó nem vette figyelembe az $F\left(a\right)$ rugóerőt, ami egyensúlyi helyzetben lép fel a rugókban.